ریاضیات

ادامهٔ بحث: کرهٔ دوبُعدی و چارت‌های تصویر استریوگرافیک

مقدمه

از بخش‌های خواناتر تصاویر برمی‌آید که یادداشت‌ها به ساخت چارت برای کرهٔ دوبُعدی، تصویر استریوگرافیک، نگاشت وارون و نگاشت انتقال میان دو چارت می‌پردازند. به‌سبب تاری شدید عکس نخست و کم‌رنگ بودن بعضی سطرها، بازنویسی زیر بر پایهٔ شکل هندسی و فرمول‌های قابل‌تشخیص، همراه با تصحیح و تکمیل ریاضی آن‌ها تنظیم شده است.

هدف اصلی این است که نشان دهیم کرهٔ دوبُعدی، با آنکه تماماً با یک صفحه هم‌ریخت نیست، پیرامون هر نقطه مانند صفحهٔ اقلیدسی است. برای این منظور از دو تصویر استریوگرافیک، یکی از قطب شمال و دیگری از قطب جنوب، استفاده می‌کنیم.

تعریف کرهٔ دوبُعدی

کرهٔ واحد دوبُعدی را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

S² = {(x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³ : x₁² + x₂² + x₃² = 1}

دو نقطهٔ ویژهٔ کره عبارت‌اند از قطب شمال و قطب جنوب:

N = (0,0,1)

S = (0,0,−1)

برای ساخت اطلس کره، دو مجموعهٔ باز زیر را در نظر می‌گیریم:

Uₙ = S² ∖ {N}

Uₛ = S² ∖ {S}

مجموعهٔ نخست تمام کره به‌جز قطب شمال و مجموعهٔ دوم تمام کره به‌جز قطب جنوب است. این دو مجموعه کره را می‌پوشانند:

Uₙ ∪ Uₛ = S²

تصویر استریوگرافیک از قطب شمال

ساخت هندسی نگاشت

نقطه‌ای مانند زیر را روی کره، به‌جز قطب شمال، در نظر می‌گیریم:

p = (x₁,x₂,x₃) ∈ Uₙ

خطی از قطب شمال N به نقطهٔ p رسم می‌کنیم. این خط، صفحهٔ افقی زیر را در نقطه‌ای یکتا قطع می‌کند:

x₃ = 0

از آنجا که این صفحه با ℝ² قابل شناسایی است، نقطهٔ تقاطع را به‌عنوان مختصات دوبُعدی p انتخاب می‌کنیم.

این نگاشت را تصویر استریوگرافیک از قطب شمال می‌نامیم:

φₙ : Uₙ → ℝ²

فرمول آن چنین است:

φₙ(x₁,x₂,x₃) = (x₁ ∕ (1−x₃), x₂ ∕ (1−x₃))

مخرج این عبارت در Uₙ صفر نمی‌شود؛ زیرا تنها نقطه‌ای از کره که مختصهٔ سوم آن برابر یک است، قطب شمال است و آن نقطه از دامنه حذف شده است.

به‌دست‌آوردن فرمول تصویر

خطی را که از N به p می‌گذرد، می‌توان به‌صورت پارامتری نوشت:

L(t) = N + t(p−N)

بنابراین:

L(t) = (tx₁, tx₂, 1+t(x₃−1))

برای رسیدن به صفحهٔ x₃ = 0 باید مؤلفهٔ سوم را صفر قرار دهیم:

1+t(x₃−1) = 0

پس:

t = 1 ∕ (1−x₃)

دو مؤلفهٔ نخست نقطهٔ تقاطع برابرند با:

(tx₁,tx₂) = (x₁ ∕ (1−x₃), x₂ ∕ (1−x₃))

و این همان فرمول تصویر استریوگرافیک است.

وارون تصویر استریوگرافیک شمالی

اکنون نقطه‌ای دلخواه از صفحه را در نظر می‌گیریم:

(u,v) ∈ ℝ²

برای یافتن نقطهٔ متناظر روی کره، خطی از قطب شمال به نقطهٔ (u,v,0) رسم می‌کنیم. تقاطع دوم این خط با کره، نقطهٔ موردنظر خواهد بود.

فرمول نگاشت وارون چنین است:

φₙ⁻¹(u,v) =

(2u ∕ D, 2v ∕ D, (u²+v²−1) ∕ D)

که در آن:

D = 1+u²+v²

بنابراین می‌توان فرمول را به‌شکل کامل نیز نوشت:

φₙ⁻¹(u,v) =

(2u ∕ (1+u²+v²),

2v ∕ (1+u²+v²),

(u²+v²−1) ∕ (1+u²+v²))

بررسی قرار داشتن تصویر وارون روی کره

برای اطمینان از درستی فرمول باید ثابت کنیم نقطهٔ حاصل روی کره قرار دارد. اگر:

r² = u²+v²

آنگاه مجموع مربع سه مؤلفه برابر است با:

4u² ∕ (1+r²)² + 4v² ∕ (1+r²)² + (r²−1)² ∕ (1+r²)²

صورت کسر را ساده می‌کنیم:

4u²+4v²+(r²−1)²

چون u²+v² = r²، داریم:

4r²+(r²−1)²

و در نتیجه:

4r²+r⁴−2r²+1 = r⁴+2r²+1

اما:

r⁴+2r²+1 = (1+r²)²

پس مجموع مربع مؤلفه‌ها برابر یک است. بنابراین:

φₙ⁻¹(u,v) ∈ S²

بررسی دو ترکیب

برای اثبات اینکه φₙ یک هم‌ریختی است، باید نشان دهیم دو ترکیب زیر نگاشت همانی هستند:

φₙ ∘ φₙ⁻¹ = idℝ²

φₙ⁻¹ ∘ φₙ = idUₙ

فرض کنیم:

φₙ⁻¹(u,v) = (x₁,x₂,x₃)

آنگاه:

1−x₃ = 1−(u²+v²−1) ∕ (1+u²+v²)

با یکسان‌کردن مخرج‌ها به دست می‌آید:

1−x₃ = 2 ∕ (1+u²+v²)

پس:

x₁ ∕ (1−x₃) = u

x₂ ∕ (1−x₃) = v

در نتیجه:

φₙ(φₙ⁻¹(u,v)) = (u,v)

ترکیب دیگر نیز با جای‌گذاری و استفاده از رابطهٔ کره به دست می‌آید:

x₁²+x₂²+x₃² = 1

پس φₙ نگاشتی یک‌به‌یک، پوشا و دارای وارون پیوسته است؛ بنابراین یک هم‌ریختی توپولوژیک است.

تصویر استریوگرافیک از قطب جنوب

برای پوشاندن قطب شمال، چارت دیگری لازم داریم. این‌بار خطی از قطب جنوب به نقطهٔ روی کره رسم می‌کنیم و محل تقاطع آن را با صفحهٔ x₃ = 0 به دست می‌آوریم.

نگاشت دوم چنین تعریف می‌شود:

φₛ : Uₛ → ℝ²

φₛ(x₁,x₂,x₃) = (x₁ ∕ (1+x₃), x₂ ∕ (1+x₃))

مخرج در Uₛ صفر نیست؛ زیرا نقطه‌ای که x₃ = −1 دارد همان قطب جنوب است و از دامنه حذف شده است.

وارون این نگاشت برابر است با:

φₛ⁻¹(u,v) =

(2u ∕ D, 2v ∕ D, (1−u²−v²) ∕ D)

که در آن مانند گذشته داریم:

D = 1+u²+v²

تفاوت اصلی دو فرمول وارون در علامت مؤلفهٔ سوم است:

φₙ⁻¹ : x₃ = (u²+v²−1) ∕ D

φₛ⁻¹ : x₃ = (1−u²−v²) ∕ D

اطلس استریوگرافیک کره

دو چارت ساخته‌شده عبارت‌اند از:

(Uₙ,φₙ)

(Uₛ,φₛ)

از آنجا که Uₙ و Uₛ تمام کره را می‌پوشانند، خانوادهٔ این دو چارت یک اطلس برای کره می‌سازد:

𝒜 = {(Uₙ,φₙ),(Uₛ,φₛ)}

پس S² یک منیفلد توپولوژیک دوبُعدی است.

نکتهٔ مهم آن است که بُعد کره دو است، هرچند کره در فضای سه‌بُعدی ℝ³ قرار گرفته است. بُعد منیفلد را فضای مختصاتی تعیین می‌کند، نه فضای محیط:

φₙ(Uₙ) = ℝ²

φₛ(Uₛ) = ℝ²

ناحیهٔ هم‌پوشانی دو چارت

دامنهٔ مشترک دو چارت، کره بدون هر دو قطب است:

Uₙ ∩ Uₛ = S² ∖ {N,S}

در مختصات صفحه‌ای، نقطهٔ صفر متناظر با قطب مقابل است. برای نمونه:

φₙ(S) = (0,0)

اما S در دامنهٔ چارت جنوبی وجود ندارد. بنابراین تصویر ناحیهٔ هم‌پوشانی در چارت شمالی برابر است با:

φₙ(Uₙ ∩ Uₛ) = ℝ² ∖ {(0,0)}

به همین ترتیب:

φₛ(Uₙ ∩ Uₛ) = ℝ² ∖ {(0,0)}

نگاشت انتقال میان دو چارت

برای بررسی سازگاری دو چارت، نگاشت انتقال را محاسبه می‌کنیم:

φₛ ∘ φₙ⁻¹ : ℝ² ∖ {(0,0)} → ℝ² ∖ {(0,0)}

نقطهٔ (u,v) را در مختصات شمالی در نظر می‌گیریم. نخست آن را با φₙ⁻¹ به کره بازمی‌گردانیم:

(x₁,x₂,x₃) =

(2u ∕ D, 2v ∕ D, (u²+v²−1) ∕ D)

که در آن:

D = 1+u²+v²

اکنون تصویر جنوبی را اعمال می‌کنیم. نخست داریم:

1+x₃ = 2(u²+v²) ∕ D

پس:

φₛ(φₙ⁻¹(u,v)) =

(u ∕ (u²+v²), v ∕ (u²+v²))

بنابراین نگاشت انتقال چنین است:

(u,v) ↦ (u ∕ (u²+v²), v ∕ (u²+v²))

این نگاشت همان وارون‌سازی نسبت به دایرهٔ واحد است. اگر فاصلهٔ نقطه از مبدأ برابر r باشد، فاصلهٔ تصویر آن برابر 1 ∕ r خواهد بود.

r ↦ 1 ∕ r

این نگاشت روی صفحهٔ سوراخ‌شده پیوسته و هموار است، زیرا مخرج u²+v² فقط در مبدأ صفر می‌شود و مبدأ در دامنه حضور ندارد.

وارون نگاشت انتقال

جالب آن است که این نگاشت وارون خودش است. اگر:

T(u,v) = (u ∕ r², v ∕ r²)

که در آن r² = u²+v²، آنگاه:

T(T(u,v)) = (u,v)

پس:

T⁻¹ = T

این ویژگی به‌سبب تقارن کامل دو تصویر استریوگرافیک شمالی و جنوبی پدید می‌آید.

تعبیر مختلط

می‌توان صفحهٔ ℝ² را با صفحهٔ مختلط ℂ شناسایی کرد:

z = u+iv

در این صورت:

|z|² = u²+v²

نگاشت انتقال به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

z ↦ z ∕ |z|²

و چون:

z ∕ |z|² = 1 ∕ z̄

داریم:

z ↦ 1 ∕ z̄

البته اگر در تعریف یکی از چارت‌ها جهت یا علامت مختصات را تغییر دهیم، ممکن است نگاشت انتقال به‌صورت 1 ∕ z ظاهر شود. این اختلاف، حاصل قرارداد انتخاب مختصات است و اصل ساخت هندسی را تغییر نمی‌دهد.

رابطه با همبندی موضعی

اکنون می‌توان قضیهٔ پیشین را به‌طور ملموس روی کره مشاهده کرد. هر نقطهٔ p روی کره در یکی از دو چارت بالا قرار دارد. در صفحهٔ مختصاتی، پیرامون تصویر آن یک دیسک باز کوچک انتخاب می‌کنیم:

B(φ(p),r) ⊆ ℝ²

سپس آن را با نگاشت وارون به کره بازمی‌گردانیم:

W = φ⁻¹(B(φ(p),r))

دیسک باز محدب و همبند مسیری است. چون φ یک هم‌ریختی است، W نیز باز و همبند مسیری خواهد بود. بنابراین S² همبند مسیری موضعی است.

افزون بر آن، خود کره نیز همبند است. پس از قضیهٔ پیشین نتیجه می‌شود که کره همبند مسیری است.

S² connected ⇒ S² path-connected

یک مسیر صریح روی کره

اگر دو نقطهٔ p و q روی کره پادقطبی نباشند، می‌توان مسیری میان آن‌ها را با نرمال‌سازی پاره‌خط ساخت:

γ(t) = ((1−t)p+tq) ∕ ‖(1−t)p+tq‖

0 ≤ t ≤ 1

این فرمول زمانی معتبر است که مخرج صفر نشود. اگر p و q پادقطبی باشند، نقطهٔ سومی مانند r انتخاب می‌کنیم که با هیچ‌کدام پادقطبی نباشد و مسیر را در دو قسمت می‌سازیم:

p → r → q

این مثال نشان می‌دهد که همبندی مسیری کره را می‌توان هم به کمک چارت‌ها و هم با یک ساخت هندسی مستقیم اثبات کرد.

نگاه رده‌ای به چارت‌های کره

در زبان نظریهٔ رده‌ها، هر چارت یک هم‌ریختی در ردهٔ فضاهای توپولوژیک است:

φₙ : Uₙ ≅ ℝ²

φₛ : Uₛ ≅ ℝ²

در اینجا اشیا، فضاهای توپولوژیک و ریخت‌ها، نگاشت‌های پیوسته‌اند. نماد هم‌ریختی یعنی هر نگاشت دارای وارون پیوسته است.

روی ناحیهٔ هم‌پوشانی، نمودار زیر معنا پیدا می‌کند:

Uₙ ∩ Uₛ → ℝ² ∖ {(0,0)}

اگر نقطه را نخست با چارت شمالی مختصات‌دهی کنیم و سپس با نگاشت انتقال به مختصات جنوبی برویم، همان نتیجه‌ای به دست می‌آید که مستقیماً چارت جنوبی را اعمال کنیم:

φₛ = (φₛ ∘ φₙ⁻¹) ∘ φₙ

این رابطه، صورت جبریِ سازگاری مختصات است. چارت‌ها زبان‌های محلی متفاوت‌اند و نگاشت انتقال، مترجم میان این زبان‌هاست.

هشدار دربارهٔ دو اصطلاح

این بحث مربوط به هم‌ریختی‌ها و سازگاری چارت‌هاست و نباید با «تابع‌گر کامل» یا «زیرردهٔ کامل» خلط شود.

• زیرردهٔ کامل: زیررده‌ای است که میان اشیای انتخاب‌شده، تمام ریخت‌های موجود در ردهٔ بزرگ را در خود دارد.
• تابع‌گر کامل: تابع‌گری است که نگاشت القایی آن روی هر مجموعهٔ ریخت‌ها پوشا باشد.

بنابراین «کامل بودن زیررده» ویژگیِ نحوهٔ قرارگرفتن یک رده در رده‌ای بزرگ‌تر است، ولی «کامل بودن تابع‌گر» ویژگیِ رفتار تابع‌گر روی ریخت‌هاست.

چند نتیجهٔ مهم

نتیجهٔ نخست: یک چارت برای تمام کره کافی نیست

اگر یک چارت تمام S² را به یک مجموعهٔ باز در ℝ² ببرد، کره با آن مجموعهٔ باز هم‌ریخت خواهد بود. اما کره فشرده است، در حالی که هیچ مجموعهٔ باز ناتهی در ℝ² فشرده نیست. پس تمام کره در یک چارت جای نمی‌گیرد.

بنابراین دست‌کم دو چارت لازم است. اطلس استریوگرافیک دقیقاً با دو چارت این کار را انجام می‌دهد.

نتیجهٔ دوم: حذف یک نقطه، کره را به صفحه تبدیل می‌کند

برای هر نقطهٔ p روی کره داریم:

S² ∖ {p} ≅ ℝ²

برای اثبات، کافی است با یک دوران کره، نقطهٔ p را به قطب شمال منتقل کنیم و سپس تصویر استریوگرافیک را به کار ببریم.

نتیجهٔ سوم: رفتار نقاط نزدیک قطب

هرچه نقطه‌ای روی کره به قطب تصویر نزدیک‌تر شود، تصویر صفحه‌ای آن از مبدأ دورتر می‌شود. در چارت شمالی:

p → N ⇒ ‖φₙ(p)‖ → ∞

به همین دلیل می‌توان کره را صفحهٔ مختلط همراه با یک نقطه در بی‌نهایت دانست:

S² ≅ ℂ ∪ {∞}

این فضا را کرهٔ ریمان نیز می‌نامند.

نتیجهٔ چهارم: کره منیفلدی هموار است

نگاشت‌های انتقال نه‌تنها پیوسته، بلکه هموارند. پس اطلس استریوگرافیک یک اطلس هموار می‌سازد و S² تنها یک منیفلد توپولوژیک نیست، بلکه یک منیفلد هموار دوبُعدی نیز هست.

جمع‌بندی

برای مختصات‌دهی کره، یک نقطه را حذف و بقیهٔ کره را بر صفحه تصویر می‌کنیم. تصویر از قطب شمال، چارت نخست و تصویر از قطب جنوب، چارت دوم را می‌سازد. این دو چارت تمام کره را می‌پوشانند و روی ناحیهٔ مشترک با نگاشتی هموار به هم متصل می‌شوند:

(u,v) ↦ (u ∕ (u²+v²), v ∕ (u²+v²))

از این ساخت چند حقیقت روشن می‌شود: کره یک منیفلد دوبُعدی است؛ هر نقطهٔ آن همسایگی‌ای شبیه صفحه دارد؛ چارت‌ها با نگاشت انتقال به هم پیوند می‌خورند؛ و همبندی مسیری موضعی کره مستقیماً از ساختار اقلیدسی مختصات حاصل می‌شود.

جان سخن: کره را نمی‌توان با یک نگاه در صفحه گنجاند؛ اما دو نگاه، یکی از شمال و دیگری از جنوب، تمام آن را آشکار می‌کند. هر چارت تصویری محلی است و نگاشت انتقال رشته‌ای است که این تصویرها را به یک هندسهٔ واحد پیوند می‌دهد.