ریاضیات

قضیهٔ همبندی موضعی توپولوژی القایی هر منیفلد

مقدمه

منیفلد ممکن است در مقیاس کلی خمیده، پیچیده یا حتی چندپاره باشد؛ اما در مقیاس محلی، سیمایی اقلیدسی دارد. هر نقطهٔ آن در همسایگی خود مانند نقطه‌ای از فضای ℝⁿ رفتار می‌کند. از آنجا که در فضای اقلیدسی می‌توان پیرامون هر نقطه گوی‌های باز، کوچک و همبند یافت، همین خاصیت به کمک چارت‌ها به منیفلد منتقل می‌شود.

بنابراین، توپولوژی منیفلد نه‌تنها اصل اول شمارش‌پذیری را ارضا می‌کند، بلکه از خاصیت قوی‌تری نیز برخوردار است: هر منیفلد همبندِ مسیریِ موضعی است و در نتیجه همبندِ موضعی نیز هست.

بیان قضیه

قضیه. اگر M یک منیفلد توپولوژیک n‌بُعدی باشد، آنگاه M همبند موضعی است. در واقع، هر نقطهٔ M دارای پایه‌ای محلی متشکل از مجموعه‌های باز و همبند مسیری است.

یعنی برای هر نقطهٔ p و هر همسایگی باز G از p، مجموعهٔ باز W وجود دارد که:

p ∈ W ⊆ G

و W همبند مسیری است.

تذکر دربارهٔ عبارت �توپولوژی القایی�

اگر منظور از توپولوژی القایی، توپولوژی‌ای باشد که به‌وسیلهٔ چارت‌های منیفلد تعیین می‌شود، قضیه دقیقاً به همین صورت برقرار است. همچنین اگر منیفلد به‌صورت زیرمجموعه‌ای از یک فضای اقلیدسی در نظر گرفته شود، توپولوژی آن معمولاً توپولوژی زیر‌فضایی القاشده از فضای محیط است.

بااین‌حال، دلیل اصلی همبندی موضعی، صرفاً �القایی بودن� توپولوژی نیست؛ بلکه علت بنیادین آن، محلی‌اقلیدسی بودن منیفلد است.

تعریف همبندی موضعی

فضای توپولوژیک X را در نقطهٔ p همبند موضعی می‌گوییم، هرگاه برای هر همسایگی باز G از p، یک همسایگی باز و همبند W وجود داشته باشد که:

p ∈ W ⊆ G

اگر این ویژگی در تمام نقاط X برقرار باشد، X همبند موضعی است.

به بیان معادل، X همبند موضعی است اگر هر نقطهٔ آن دارای پایه‌ای محلی متشکل از مجموعه‌های باز و همبند باشد.

تعریف همبندی مسیری موضعی

فضای X را همبند مسیری موضعی می‌نامیم، هرگاه برای هر نقطهٔ p و هر همسایگی باز G از p، یک همسایگی باز و همبند مسیری W پیدا شود که:

p ∈ W ⊆ G

هر فضای همبند مسیری موضعی، همبند موضعی است؛ زیرا هر مجموعهٔ همبند مسیری، همبند نیز هست.

locally path-connected ⇒ locally connected

اثبات قضیه

نقطهٔ دلخواه p را در منیفلد M و همسایگی باز دلخواه G را از p در نظر می‌گیریم:

p ∈ G ⊆ M

چون M یک منیفلد n‌بُعدی است، چارتی مانند (U,φ) پیرامون p وجود دارد، به‌طوری‌که:

p ∈ U ⊆ M

φ : U → V

V = φ(U) ⊆ ℝⁿ

در اینجا U و V بازند و φ یک هم‌ریختی توپولوژیک است.

ممکن است تمام U در G قرار نگیرد؛ پس مجموعهٔ U ∩ G را در نظر می‌گیریم. این مجموعه در U باز است و p را در بر دارد. چون φ هم‌ریختی است، تصویر آن مجموعه‌ای باز در ℝⁿ خواهد بود:

φ(U ∩ G) is open in ℝⁿ

نقطهٔ مختصاتی p را با x نشان می‌دهیم:

x = φ(p)

در نتیجه:

x ∈ φ(U ∩ G)

چون φ(U ∩ G) در ℝⁿ باز است، عدد مثبت r وجود دارد که:

B(x,r) ⊆ φ(U ∩ G)

اکنون تعریف می‌کنیم:

W = φ⁻�(B(x,r))

این مجموعه دارای ویژگی‌های زیر است:

• W در M باز است؛
• نقطهٔ p در W قرار دارد؛
• W درون G قرار گرفته است؛
• W با گوی باز B(x,r) هم‌ریخت است.

گوی B(x,r) محدب است. ازاین‌رو، برای هر دو نقطهٔ y و z در این گوی، پاره‌خط میان آن‌ها نیز در گوی باقی می‌ماند. مسیر پاره‌خطی چنین است:

γ(t) = (1−t)y tz, 0 ≤ t ≤ 1

پس B(x,r) همبند مسیری است. از آنجا که هم‌ریختی‌ها همبندی مسیری را حفظ می‌کنند، W نیز همبند مسیری است.

در نتیجه برای هر همسایگی G از p، یک همسایگی باز و همبند مسیری W داریم که:

p ∈ W ⊆ G

پس M همبند مسیری موضعی و در نتیجه همبند موضعی است.

صورت فشردهٔ برهان

p ∈ G ∩ U

φ(p) ∈ φ(G ∩ U)

B(φ(p),r) ⊆ φ(G ∩ U)

W = φ⁻�(B(φ(p),r))

p ∈ W ⊆ G

چون گوی اقلیدسی همبند مسیری است، W نیز همبند مسیری است.

مثال‌ها

مثال اول: خط حقیقی

خط حقیقی ℝ یک منیفلد یک‌بُعدی است. پیرامون هر نقطهٔ x و درون هر همسایگی باز G از x، می‌توان یک بازهٔ باز کوچک پیدا کرد:

x ∈ (x−ε,x ε) ⊆ G

هر بازهٔ باز در ℝ همبند مسیری است. مسیر میان دو نقطهٔ a و b در بازه را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

γ(t) = (1−t)a tb

پس ℝ همبند مسیری موضعی است.

مثال دوم: فضای اقلیدسی

فضای ℝⁿ یک منیفلد n‌بُعدی است. گوی‌های باز پیرامون هر نقطه، پایه‌ای محلی می‌سازند:

𝓑ₓ = {B(x,1/m) : m ∈ ℕ}

هر یک از این گوی‌ها باز، محدب و همبند مسیری است. بنابراین ℝⁿ همبند مسیری موضعی است.

این مثال، الگوی اصلی اثبات قضیه برای تمام منیفلدهاست.

مثال سوم: دایره

دایرهٔ S� یک منیفلد یک‌بُعدی است. خود دایره همبند و همبند مسیری است؛ اما برای همبندی موضعی نیازی به بررسی تمام دایره نداریم.

پیرامون هر نقطهٔ p از دایره، یک کمان باز کوچک وجود دارد که با یک بازهٔ باز در ℝ هم‌ریخت است:

U ≅ (−ε,ε)

چون بازهٔ سمت راست همبند مسیری است، کمان U نیز همبند مسیری است. با کوچک کردن کمان، می‌توان آن را در هر همسایگی دلخواه از p قرار داد.

مثال چهارم: کره

کرهٔ S� یک منیفلد دوبُعدی است. پیرامون هر نقطهٔ آن، ناحیه‌ای وجود دارد که با یک دیسک باز در ℝ� هم‌ریخت است.

U ≅ B(0,r) ⊆ ℝ�

دیسک باز محدب و همبند مسیری است؛ بنابراین U نیز همبند مسیری است. پس کره همبند مسیری موضعی است.

همچنین خود کره همبند است؛ ازاین‌رو کره نمونه‌ای است که هم خاصیت سراسری همبندی و هم خاصیت موضعی همبندی را دارد.

مثال پنجم: چنبره

چنبره یا توروس T� از نظر سراسری دارای سوراخ است و توپولوژی آن با صفحه متفاوت است؛ اما در همسایگی هر نقطه همچنان مانند یک دیسک باز دوبُعدی دیده می‌شود.

U ≅ B(0,r) ⊆ ℝ�

بنابراین وجود سوراخ‌های سراسری مانع همبندی موضعی نیست. همبندی موضعی به ساختار بسیار نزدیک به هر نقطه وابسته است، نه به شکل کلی فضا.

مثال ششم: استوانه

استوانه را می‌توان به‌صورت حاصل‌ضرب زیر در نظر گرفت:

M = S� � ℝ

این فضا یک منیفلد دوبُعدی است. پیرامون هر نقطهٔ آن، ناحیه‌ای وجود دارد که با یک مستطیل باز در ℝ� هم‌ریخت است.

هر مستطیل باز محدب و همبند مسیری است؛ پس استوانه همبند مسیری موضعی است.

مثال هفتم: منیفلد ناهمبند

اجتماع مجزای دو دایره را در نظر می‌گیریم:

M = S� ⊔ S�

این فضا یک منیفلد یک‌بُعدی است؛ ولی همبند نیست، زیرا از دو مؤلفهٔ جدا تشکیل شده است.

بااین‌حال، پیرامون هر نقطهٔ آن کمانی باز وجود دارد که با یک بازهٔ باز در ℝ هم‌ریخت است. پس M همبند مسیری موضعی است.

این مثال نشان می‌دهد:

locally connected ⇏ connected

بنابراین عبارت �هر منیفلد همبند موضعی است� به این معنا نیست که هر منیفلد الزاماً همبند است.

مثال هشتم: منیفلد با مرز

نیم‌خط بسته را در نظر می‌گیریم:

M = [0,∞)

این فضا یک منیفلد یک‌بُعدی با مرز است. پیرامون نقاط مثبت، بازه‌های معمولی وجود دارند. پیرامون نقطهٔ مرزی صفر نیز همسایگی‌هایی از نوع زیر داریم:

[0,ε)

این مجموعه‌ها همبند مسیری‌اند. بنابراین منیفلدهای دارای مرز نیز همبند مسیری موضعی هستند.

در حالت کلی، چارت مرزی مقادیری در نیم‌فضای اقلیدسی دارد:

ℍⁿ = {(x₁,…,xₙ) ∈ ℝⁿ : xₙ ≥ 0}

تقاطع گوی‌های کوچک با نیم‌فضا محدب و همبند مسیری است؛ بنابراین همان برهان برای منیفلدهای دارای مرز نیز کار می‌کند.

مثال نهم: فضای تصویری حقیقی

فضای تصویری حقیقی ℝPⁿ یک منیفلد n‌بُعدی است. این فضا از شناسایی نقاط پادقطبی روی کره ساخته می‌شود و ساختار سراسری ویژه‌ای دارد؛ ولی هر نقطهٔ آن دارای همسایگی‌ای هم‌ریخت با یک مجموعهٔ باز در ℝⁿ است.

پس ℝPⁿ نیز همبند مسیری موضعی است. این نمونه نشان می‌دهد که حتی فضاهای حاصل از خارج‌قسمت، اگر ساختار منیفلدی داشته باشند، در هر نقطه همبندی موضعی را حفظ می‌کنند.

مثال دهم: خط با دو مبدأ

خط با دو مبدأ نمونه‌ای از یک فضای محلی‌اقلیدسی و غیرهاسدورف است. هر یک از دو مبدأ، همسایگی‌هایی دارد که با بازه‌های باز خط حقیقی هم‌ریخت‌اند.

پس این فضا، با وجود هاسدورف نبودن، همبند مسیری موضعی است.

این مثال نشان می‌دهد که برای اثبات همبندی موضعی، شرط هاسدورف لازم نیست؛ محلی‌اقلیدسی بودن کافی است.

locally Euclidean ⇒ locally path-connected

نمونه‌هایی که منیفلد نیستند

مثال یازدهم: مجموعهٔ توپولوژیستِ سینوسی

مجموعه‌ای در صفحه را در نظر بگیرید که شامل نمودار زیر برای مقادیر مثبت x باشد:

y = sin(1/x)

و پاره‌خط قائم زیر نیز به آن افزوده شود:

{0} � [−1,1]

این فضا همبند است، ولی در نقاط پاره‌خط قائم همبند موضعی نیست. نوسان‌های بی‌نهایت نمودار در نزدیکی محور قائم مانع وجود همسایگی‌های باز و همبندِ به‌اندازهٔ کافی کوچک می‌شوند.

در نتیجه، این فضا نمی‌تواند منیفلد باشد. بنابراین همبندی موضعی می‌تواند یکی از آزمون‌های اولیه برای رد منیفلد بودن یک فضا باشد.

مثال دوازدهم: گوشوارهٔ هاوایی

گوشوارهٔ هاوایی از اجتماع شمارای دایره‌هایی ساخته می‌شود که همگی در یک نقطه مشترک‌اند و شعاع‌هایشان به صفر میل می‌کند.

این فضا در نقطهٔ مشترک رفتاری بسیار متفاوت از یک بازه یا دیسک اقلیدسی دارد. گرچه از برخی جهات همبندی موضعی مناسبی دارد، در نقطهٔ مشترک دارای همسایگی اقلیدسی نیست و بنابراین منیفلد یک‌بُعدی محسوب نمی‌شود.

این مثال نشان می‌دهد که همبندی موضعی شرط لازم برای منیفلد بودن است، اما شرط کافی نیست.

manifold ⇒ locally connected

locally connected ⇏ manifold

کاربردهای قضیه

کاربرد اول: تشخیص منیفلد نبودن یک فضا

اگر فضایی در نقطه‌ای همبند موضعی نباشد، آن فضا نمی‌تواند در آن نقطه محلی‌اقلیدسی باشد؛ پس منیفلد نیست.

روش کاربردی چنین است:

1. نقطه‌ای مشکوک مانند p را انتخاب می‌کنیم.
2. همسایگی‌های کوچک p را بررسی می‌کنیم.
3. اگر هیچ پایهٔ محلی متشکل از مجموعه‌های باز و همبند وجود نداشته باشد، فضا منیفلد نیست.

این روش در بررسی فضاهای دارای انشعاب، تجمع بی‌نهایت شاخه‌ها یا تکینگی‌های شدید مفید است.

کاربرد دوم: باز بودن مؤلفه‌های همبندی

در هر فضای همبند موضعی، مؤلفه‌های همبندی باز هستند. چون منیفلد همبند موضعی است، هر مؤلفهٔ همبندی آن مجموعه‌ای باز است.

فرض کنید C مؤلفهٔ همبندی نقطهٔ p باشد. برای هر q در C، همسایگی باز و همبندی مانند W وجود دارد که:

q ∈ W

چون W همبند است و با C اشتراک دارد، اجتماع W و C نیز همبند است. از بیشینه بودن مؤلفهٔ C نتیجه می‌شود:

W ⊆ C

پس هر نقطهٔ C یک همسایگی باز درون C دارد؛ بنابراین C باز است.

کاربرد سوم: همبندی و همبندی مسیری

در فضاهای توپولوژیک عمومی، ممکن است فضایی همبند باشد ولی همبند مسیری نباشد. اما منیفلدها همبند مسیری موضعی‌اند؛ ازاین‌رو مؤلفه‌های همبندی و مؤلفه‌های همبندی مسیری آن‌ها یکسان‌اند.

بنابراین برای هر منیفلد M داریم:

M connected ⇔ M path-connected

این هم‌ارزی یکی از نتایج بسیار سودمند قضیه است. برای اثبات همبند مسیری بودن یک منیفلد، کافی است همبندی آن را نشان دهیم.

کاربرد چهارم: ساخت مسیر به روش مجموعهٔ باز و بسته

فرض کنیم M منیفلدی همبند باشد و نقطهٔ ثابت p را در آن انتخاب کنیم. مجموعهٔ نقاطی را که می‌توان با مسیر به p متصل کرد، چنین تعریف می‌کنیم:

P = {q ∈ M : there is a path from p to q}

به دلیل همبندی مسیری موضعی، P باز است. همچنین هر مؤلفهٔ مسیری دیگر نیز باز است؛ پس متمم P باز و خود P بسته است.

بنابراین P هم باز و هم بسته است:

P is open and closed in M

چون M همبند و P ناتهی است، نتیجه می‌شود:

P = M

پس هر نقطهٔ M با مسیری به p متصل می‌شود.

کاربرد پنجم: توابع موضعاً ثابت

اگر M منیفلدی همبند باشد و تابع f روی M موضعاً ثابت باشد، آنگاه f روی تمام M ثابت است.

موضعاً ثابت بودن یعنی برای هر نقطهٔ p، همسایگی بازی مانند U وجود داشته باشد که f روی U مقدار ثابتی داشته باشد.

برای هر مقدار c، مجموعهٔ تراز زیر را در نظر می‌گیریم:

f⁻�({c})

به دلیل موضعاً ثابت بودن f، این مجموعه باز است. متمم آن نیز اجتماع دیگر مجموعه‌های تراز و در نتیجه باز است؛ پس مجموعهٔ تراز هم باز و هم بسته است.

در منیفلد همبند، تنها زیرمجموعه‌های هم‌زمان باز و بسته، مجموعهٔ تهی و کل منیفلدند. بنابراین اگر مقدار c در تصویر f باشد:

f⁻�({c}) = M

پس f ثابت است.

کاربرد ششم: انتقال اطلاعات محلی به مؤلفه‌ها

در بسیاری از مسائل هندسه و تحلیل، ابتدا یک ویژگی در همسایگی کوچک هر نقطه اثبات می‌شود. اگر این ویژگی در طول مسیرها قابل انتقال باشد، همبندی مسیری منیفلد اجازه می‌دهد آن را از یک نقطه به تمام مؤلفه منتقل کنیم.

الگوی کلی چنین است:

1. ویژگی را در یک نقطه یا ناحیهٔ کوچک ثابت می‌کنیم.
2. نقاط را با مسیر به یکدیگر متصل می‌کنیم.
3. مسیر را با تعداد متناهی ناحیهٔ مختصاتی می‌پوشانیم.
4. اطلاعات را از یک چارت به چارت بعدی انتقال می‌دهیم.
5. نتیجه را روی تمام مؤلفه به دست می‌آوریم.

این شیوه در هندسهٔ دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل و نظریهٔ پوشش‌ها بسیار رایج است.

کاربرد هفتم: پوشاندن مسیر با تعداد متناهی چارت

اگر γ مسیری در منیفلد باشد:

γ : [0,1] → M

تصویر مسیر فشرده است؛ زیرا بازهٔ [0,1] فشرده و γ پیوسته است. نواحی مختصاتی تصویر مسیر را می‌پوشانند، پس می‌توان تعداد متناهی چارت انتخاب کرد که تمام مسیر را بپوشانند.

γ([0,1]) ⊆ U₁ ∪ U₂ ∪ ⋯ ∪ Uₖ

ازاین‌رو مطالعهٔ یک مسیر سراسری روی منیفلد به تعداد متناهی مسئلهٔ محلی در ℝⁿ تبدیل می‌شود.

کاربرد هشتم: نظریهٔ پوشش‌ها

در نظریهٔ فضاهای پوششی، همبندی مسیری موضعی یکی از شرایط اساسی است. منیفلدها به‌طور خودکار این شرط را دارند.

اگر نگاشت زیر یک پوشش باشد:

π : E → M

همبندی مسیری موضعی M در نتایجی مانند بالابری مسیرها، بررسی مؤلفه‌های فضای پوشان و طبقه‌بندی پوشش‌ها نقش دارد.

برای نمونه، اگر M همبند باشد، رفتار یک پوشش را اغلب می‌توان با بررسی یک نقطهٔ پایه و مسیرهای آغازشده از آن مطالعه کرد.

کاربرد نهم: گروه بنیادی

گروه بنیادی منیفلد بر پایهٔ حلقه‌ها و هموتوپی مسیرها تعریف می‌شود. همبندی مسیری موضعی سبب می‌شود مسیرها ابزار طبیعی و مناسبی برای مطالعهٔ ساختار سراسری منیفلد باشند.

اگر p و q در یک منیفلد همبند قرار داشته باشند، مسیری میان آن‌ها وجود دارد. با استفاده از این مسیر، گروه‌های بنیادی در نقاط پایهٔ مختلف، تا یک هم‌ریختی، یکسان‌اند:

π₁(M,p) ≅ π₁(M,q)

این نتیجه از همبند مسیری بودن منیفلد همبند بهره می‌برد.

کاربرد دهم: نظریهٔ دسته‌ها و تابع مؤلفه‌ها

به هر فضای توپولوژیک X می‌توان مجموعهٔ مؤلفه‌های همبندی آن را نسبت داد. این ساخت را معمولاً با π₀ نشان می‌دهند:

π₀(X) = {connected components of X}

هر نگاشت پیوسته، مجموعهٔ همبند را به مجموعه‌ای همبند می‌فرستد؛ بنابراین یک نگاشت پیوسته:

f : M → N

نگاشتی میان مجموعهٔ مؤلفه‌ها القا می‌کند:

π₀(f) : π₀(M) → π₀(N)

برای منیفلدها، چون مؤلفه‌های همبندی همان مؤلفه‌های مسیری‌اند، π₀ را می‌توان هم از راه همبندی و هم از راه وجود مسیرها تفسیر کرد.

در زبان نظریهٔ رده‌ها، این ساخت یک تابع‌گر از ردهٔ فضاهای توپولوژیک و نگاشت‌های پیوسته به ردهٔ مجموعه‌هاست. در مورد منیفلدها، این تابع‌گر ساختار سراسری فضا را به مجموعه‌ای از قطعات باز، بسته و همبند تبدیل می‌کند.

کاربرد یازدهم: انتگرال‌گیری روی منیفلد

در انتگرال‌گیری روی منیفلد، محاسبات ابتدا در چارت‌های محلی انجام و سپس با افراز واحد به یکدیگر متصل می‌شوند. وجود همسایگی‌های کوچک و همبند سبب می‌شود رفتار موضعی تابع‌ها و فرم‌ها در هر قطعه به‌صورت یکپارچه بررسی شود.

اگر منیفلد چند مؤلفه داشته باشد، انتگرال را می‌توان مؤلفه‌به‌مؤلفه محاسبه کرد. چون مؤلفه‌های منیفلد بازند، هر مؤلفه خود یک منیفلد با همان بُعد است.

کاربرد دوازدهم: معادلات دیفرانسیل

حل‌های معادلات دیفرانسیل روی منیفلد معمولاً ابتدا به‌صورت محلی ساخته می‌شوند. همبندی مسیری موضعی و وجود چارت‌ها اجازه می‌دهد حل محلی در امتداد یک مسیر ادامه یابد.

برای نمونه، اگر میدان برداری X روی M داده شده باشد، منحنی انتگرالی آن در مختصات محلی به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی در ℝⁿ تبدیل می‌شود. سپس با عبور مسیر از چارت‌های هم‌پوشان، حل ادامه پیدا می‌کند.

کاربرد سیزدهم: تشخیص ثابت بودن بُعد

در تعریف عمومی منیفلد، ممکن است در ابتدا برای هر نقطه یک بُعد محلی در نظر گرفته شود. بُعد محلی روی هر مؤلفهٔ همبندی ثابت است.

اگر M همبند باشد و هر نقطه همسایگی‌ای هم‌ریخت با یک مجموعهٔ باز در یک فضای اقلیدسی داشته باشد، قضیهٔ ناوردایی بُعد نشان می‌دهد که عدد n نمی‌تواند از نقطه‌ای به نقطهٔ دیگر تغییر کند.

بنابراین در یک منیفلد همبند، بُعد در سراسر فضا ثابت است. در یک منیفلد ناهمبند، مؤلفه‌های مختلف می‌توانند در برخی قراردادهای تعریفی ابعاد متفاوت داشته باشند؛ هرچند بسیاری از کتاب‌ها از آغاز بُعد را برای تمام منیفلد ثابت فرض می‌کنند.

نتایج مهم قضیه

نتیجهٔ اول: مؤلفه‌های همبندی باز و بسته‌اند

هر مؤلفهٔ همبندی در هر فضای توپولوژیک بسته است. از سوی دیگر، در یک فضای همبند موضعی، مؤلفه‌های همبندی باز نیز هستند.

پس اگر C یکی از مؤلفه‌های منیفلد M باشد:

C is open and closed in M

یعنی مؤلفه‌های منیفلد هم‌زمان باز و بسته‌اند.

نتیجهٔ دوم: هر مؤلفهٔ منیفلد، خود یک منیفلد است

چون هر مؤلفهٔ C از M باز است، چارت‌های M با محدود شدن به C، چارت‌هایی برای C می‌سازند. بنابراین هر مؤلفهٔ همبندی منیفلد، خود منیفلدی با همان بُعد است.

اگر (U,φ) چارتی از M و U در C قرار داشته باشد، همان نگاشت:

φ : U → φ(U) ⊆ ℝⁿ

یک چارت برای C نیز خواهد بود.

نتیجهٔ سوم: مؤلفه‌های همبندی و مسیری برابرند

چون منیفلد همبند مسیری موضعی است، مؤلفه‌های همبندی آن با مؤلفه‌های همبندی مسیری برابرند:

connected components = path components

بنابراین هر مؤلفهٔ همبندی منیفلد، همبند مسیری است.

نتیجهٔ چهارم: منیفلد همبند، همبند مسیری است

از نتیجهٔ پیشین فوراً به دست می‌آید:

M connected ⇔ M path-connected

جهت راست به چپ در همهٔ فضاهای توپولوژیک درست است؛ اما جهت چپ به راست در اینجا از همبندی مسیری موضعی منیفلد حاصل می‌شود.

نتیجهٔ پنجم: منیفلد دارای پایهٔ محلی همبند و شمارا است

در نقطهٔ p یک چارت (U,φ) انتخاب می‌کنیم و عدد مثبت r را چنان می‌گیریم که:

B(φ(p),r) ⊆ φ(U)

سپس برای هر عدد طبیعی m تعریف می‌کنیم:

Wₘ = φ⁻�(B(φ(p),r/m))

خانوادهٔ زیر یک پایهٔ شمارای محلی در p است:

𝓑ₚ = {Wₘ : m ∈ ℕ}

هر Wₘ باز و همبند مسیری است. بنابراین یک خانوادهٔ واحد، هم اصل اول شمارش‌پذیری و هم همبندی مسیری موضعی را نشان می‌دهد.

نتیجهٔ ششم: مؤلفه‌های باز هر زیرمجموعهٔ باز

اگر G زیرمجموعه‌ای باز از منیفلد M باشد، آنگاه G نیز یک منیفلد با همان بُعد است. پس G نیز همبند موضعی است و مؤلفه‌های همبندی آن در G بازند.

از آنجا که G در M باز است، مؤلفه‌های G در M نیز باز خواهند بود.

بنابراین هر مجموعهٔ باز منیفلد به اجتماع مؤلفه‌های باز و همبند خود تجزیه می‌شود:

G = ⋃ Cᵢ

نتیجهٔ هفتم: در منیفلدهای اصل دوم شمارا، تعداد مؤلفه‌ها شماراست

در تعریف استاندارد، منیفلد اصل دوم شمارش‌پذیری را نیز ارضا می‌کند. از سوی دیگر، مؤلفه‌های آن باز، ناتهی و دو‌به‌دو مجزا هستند.

در یک فضای اصل دوم شمارش‌پذیر، هر خانواده از مجموعه‌های باز ناتهی و دو‌به‌دو مجزا، حداکثر شماراست. بنابراین منیفلد استاندارد حداکثر شمارا مؤلفهٔ همبندی دارد.

|π₀(M)| ≤ ℵ₀

پس منیفلد استاندارد نمی‌تواند دارای خانواده‌ای ناشمارا از مؤلفه‌های باز و جدا از هم باشد.

نتیجهٔ هشتم: اگر منیفلد فشرده باشد، تعداد مؤلفه‌های آن متناهی است

فرض کنیم M منیفلدی فشرده باشد. مؤلفه‌های همبندی M بازند و اجتماع آن‌ها تمام M را می‌پوشاند.

از فشردگی M، این پوشش باز دارای زیرپوشش متناهی است. چون مؤلفه‌ها دو‌به‌دو مجزا هستند، هیچ مؤلفه‌ای را نمی‌توان با مؤلفه‌های دیگر پوشاند. بنابراین تعداد مؤلفه‌ها باید متناهی باشد.

M compact ⇒ π₀(M) is finite

نتیجهٔ نهم: تصویر پیوستهٔ منیفلد همبند، همبند است

اگر M همبند و f نگاشتی پیوسته باشد:

f : M → X

آنگاه تصویر f(M) همبند است. چون M در این حالت همبند مسیری نیز هست، تصویر آن حتی همبند مسیری خواهد بود.

M connected ⇒ f(M) path-connected

برای هر دو نقطهٔ f(p) و f(q)، مسیری γ از p به q وجود دارد و ترکیب زیر مسیری از f(p) به f(q) می‌سازد:

f ∘ γ

نتیجهٔ دهم: تصویر پیوسته در یک فضای گسسته روی هر مؤلفه ثابت است

اگر D فضایی گسسته و f نگاشتی پیوسته باشد:

f : M → D

آنگاه f روی هر مؤلفهٔ همبندی M ثابت است؛ زیرا تصویر یک مجموعهٔ همبند در فضای گسسته تنها می‌تواند یک نقطه باشد.

اگر M همبند باشد، f روی تمام M ثابت خواهد بود.

نتیجهٔ یازدهم: تجزیهٔ منیفلد به اجتماع مجزای منیفلدهای همبند

هر منیفلد M را می‌توان به اجتماع مجزای مؤلفه‌های همبندش نوشت:

M = ⊔ᵢ Mᵢ

هر Mᵢ دارای ویژگی‌های زیر است:

• در M باز و بسته است؛
• خود یک منیفلد است؛
• همبند است؛
• همبند مسیری است.

بنابراین بسیاری از قضایا را می‌توان نخست برای منیفلدهای همبند اثبات کرد و سپس نتیجه را جداگانه روی هر مؤلفه به کار برد.

تفاوت چند مفهوم نزدیک

همبندی سراسری

فضای M همبند است اگر نتوان آن را به دو مجموعهٔ باز، ناتهی و مجزا تجزیه کرد:

M = A ∪ B

A ∩ B = ∅

A ≠ ∅, B ≠ ∅

همبندی موضعی

هر نقطه دارای همسایگی‌های باز و همبندِ به‌اندازهٔ کافی کوچک است. این ویژگی دربارهٔ رفتار نزدیک هر نقطه است و لزوماً دربارهٔ کل فضا چیزی نمی‌گوید.

همبندی مسیری

میان هر دو نقطهٔ فضا مسیری پیوسته وجود دارد.

همبندی مسیری موضعی

هر نقطه دارای همسایگی‌های باز و همبند مسیریِ به‌اندازهٔ کافی کوچک است.

رابطه‌های کلی چنین‌اند:

path-connected ⇒ connected

locally path-connected ⇒ locally connected

اما برای منیفلدها، به دلیل همبندی مسیری موضعی، در سطح مؤلفه‌ها داریم:

connected ⇔ path-connected

نکتهٔ دقیق دربارهٔ گوی مختصاتی

برای اثبات همبندی موضعی، کافی نیست بگوییم ناحیهٔ چارت U با یک مجموعهٔ باز V در ℝⁿ هم‌ریخت است؛ زیرا یک مجموعهٔ باز در ℝⁿ ممکن است ناهمبند باشد.

برای مثال، اجتماع دو گوی باز و مجزا یک مجموعهٔ باز ولی ناهمبند است. ازاین‌رو باید درون V، گوی باز کوچک‌تری پیرامون φ(p) انتخاب کنیم:

B(φ(p),r) ⊆ V

آنچه همبندی را تضمین می‌کند، محدب و همبند مسیری بودن این گوی کوچک است، نه صرفاً باز بودن V.

خلاصهٔ مثال‌ها و نتایج

• خط حقیقی، دایره، کره، استوانه و چنبره همبند مسیری موضعی‌اند.
• اجتماع مجزای دو دایره همبند نیست، ولی همبند موضعی است.
• منیفلدهای دارای مرز نیز همبند مسیری موضعی‌اند.
• خط با دو مبدأ نشان می‌دهد همبندی موضعی به هاسدورف بودن وابسته نیست.
• اگر فضایی همبند موضعی نباشد، نمی‌تواند منیفلد باشد.
• مؤلفه‌های همبندی منیفلد باز و بسته‌اند.
• هر مؤلفهٔ منیفلد، خود یک منیفلد است.
• در منیفلد، مؤلفه‌های همبندی و مؤلفه‌های مسیری یکسان‌اند.
• هر منیفلد همبند، همبند مسیری است.
• هر منیفلد فشرده فقط تعداد متناهی مؤلفه دارد.
• هر منیفلد استاندارد حداکثر شمارا مؤلفه دارد.

نتیجه‌گیری

هر نقطهٔ منیفلد در آیینهٔ یک چارت، به نقطه‌ای از فضای اقلیدسی تبدیل می‌شود. در پیرامون آن نقطه، گوی‌های باز و کوچک وجود دارند؛ گوی‌هایی که محدب‌اند، همبندند و با مسیرهای مستقیم به هم پیوسته‌اند. وارون چارت این گوی‌ها را به همسایگی‌های باز و همبند مسیری روی منیفلد بازمی‌گرداند.

W = φ⁻�(B(φ(p),r))

ازاین‌رو هر منیفلد همبند مسیری موضعی و در نتیجه همبند موضعی است. این خاصیت، پلی میان هندسهٔ محلی و توپولوژی سراسری می‌سازد: از یک سو امکان ساخت مسیر، تحلیل چارت‌به‌چارت و مطالعهٔ پوشش‌ها را فراهم می‌آورد؛ و از سوی دیگر نشان می‌دهد مؤلفه‌های منیفلد، قطعاتی باز، بسته و خودْ منیفلدی‌اند.

جان سخن: منیفلد شاید در کل پرپیچ‌وخم یا چندپاره باشد، اما در نزدیکی هر نقطه، راه‌ها گشوده و ناحیه‌ها پیوسته‌اند؛ هر نقطه در محلهٔ خویش، رنگ و آهنگ فضای اقلیدسی دارد.