ریاضیات

قضیه: هر منیفلد، همبندِ موضعی است

بیان قضیه

قضیه. اگر M یک منیفلد توپولوژیک باشد، آنگاه توپولوژی M همبندِ موضعی است. حتی نتیجه‌ای قوی‌تر برقرار است: هر منیفلد، همبندِ مسیریِ موضعی است.

به بیان دقیق‌تر، برای هر نقطهٔ p از M و هر همسایگی باز G از p، همسایگی باز و همبندی مانند W وجود دارد که:

p ∈ W ⊆ G

در حقیقت می‌توان W را چنان انتخاب کرد که همبندِ مسیری باشد.

نکتهٔ مهم

در این قضیه لازم نیست خود منیفلد M همبند باشد. ممکن است M چند مؤلفهٔ جدا از یکدیگر داشته باشد؛ اما در همسایگی هر نقطه، مجموعه‌های باز و همبندِ به‌اندازهٔ کافی کوچک یافت می‌شوند.

پس باید میان این دو مفهوم فرق گذاشت:

• همبند بودن: خاصیتی سراسری برای کل فضاست.
• همبند موضعی بودن: خاصیتی مربوط به همسایگی‌های کوچک هر نقطه است.

تعریف همبندی موضعی

فضای توپولوژیک X را در نقطهٔ p همبند موضعی می‌نامیم، هرگاه p دارای پایه‌ای محلی متشکل از مجموعه‌های باز و همبند باشد.

یعنی برای هر همسایگی باز G از p، مجموعهٔ باز و همبندی مانند W وجود داشته باشد که:

p ∈ W ⊆ G

اگر این ویژگی در تمام نقاط X برقرار باشد، X را همبند موضعی می‌نامیم.

اثبات قضیه

نقطهٔ دلخواه p را از منیفلد M انتخاب می‌کنیم:

p ∈ M

همچنین فرض می‌کنیم G یک همسایگی باز دلخواه از p باشد:

p ∈ G

چون M یک منیفلد n‌بُعدی است، پیرامون p چارتی مانند (U,φ) وجود دارد، به‌گونه‌ای که:

p ∈ U ⊆ M

φ : U → V

V = φ(U) ⊆ ℝⁿ

و φ یک هم‌ریختی توپولوژیک است. همچنین U در M و V در ℝⁿ بازند.

ممکن است U به‌طور کامل در G قرار نداشته باشد؛ بنابراین ناحیهٔ چارت را با G قطع می‌کنیم:

p ∈ U ∩ G

مجموعهٔ U ∩ G در M و در نتیجه در U باز است. چون φ یک هم‌ریختی است، تصویر آن در V باز خواهد بود:

φ(U ∩ G) ⊆ ℝⁿ

همچنین مختصات p در این مجموعه قرار دارد. می‌نویسیم:

x = φ(p)

x ∈ φ(U ∩ G)

از آنجا که φ(U ∩ G) مجموعه‌ای باز در ℝⁿ است، عدد حقیقی مثبت r وجود دارد که:

B(x,r) ⊆ φ(U ∩ G)

اکنون پیش‌تصویر این گوی را تحت چارت در نظر می‌گیریم:

W = φ⁻¹(B(x,r))

نشان می‌دهیم W همان همسایگی مطلوب است.

۱. مجموعهٔ W شامل نقطهٔ p است

چون x مرکز گوی است، داریم:

x ∈ B(x,r)

از طرف دیگر x = φ(p) است؛ بنابراین:

p ∈ φ⁻¹(B(x,r)) = W

۲. مجموعهٔ W باز است

گوی B(x,r) در ℝⁿ باز است. همچنین این گوی در V قرار دارد و φ یک هم‌ریختی میان U و V است. پس پیش‌تصویر آن در U باز است:

W = φ⁻¹(B(x,r))

چون U در M باز است، هر زیرمجموعه‌ای که در U باز باشد، در M نیز باز است. بنابراین W یک مجموعهٔ باز در M است.

۳. مجموعهٔ W درون G قرار دارد

بر اساس انتخاب شعاع r داریم:

B(x,r) ⊆ φ(U ∩ G)

با گرفتن پیش‌تصویر دو طرف تحت φ نتیجه می‌گیریم:

φ⁻¹(B(x,r)) ⊆ U ∩ G

پس:

W ⊆ U ∩ G ⊆ G

۴. مجموعهٔ W همبند است

گوی باز B(x,r) در فضای اقلیدسی محدب است. یعنی اگر y و z دو نقطه از آن باشند، پاره‌خط میان آن‌ها نیز به‌طور کامل در گوی قرار می‌گیرد.

مسیر میان y و z را می‌توان چنین تعریف کرد:

γ(t) = (1−t)y + tz, 0 ≤ t ≤ 1

برای تمام مقادیر t داریم:

γ(t) ∈ B(x,r)

پس B(x,r) همبند مسیری است و در نتیجه همبند نیز هست.

از سوی دیگر، محدودیت φ به W یک هم‌ریختی است:

φ|W : W → B(x,r)

هم‌ریختی‌ها خاصیت همبندی و همبندی مسیری را حفظ می‌کنند. بنابراین W نیز همبند مسیری و، به طریق اولی، همبند است.

در نتیجه همسایگی W دارای تمام خواص مورد نیاز است:

p ∈ W ⊆ G

و W هم باز و هم همبند مسیری است.

چون p و G دلخواه بودند، هر نقطهٔ M دارای پایه‌ای محلی از مجموعه‌های باز و همبند مسیری است. بنابراین:

M is locally path-connected

و چون هر فضای همبند مسیری، همبند است، نتیجه می‌شود:

M is locally connected

صورت خلاصهٔ اثبات

روند برهان را می‌توان در چند سطر خلاصه کرد:

p ∈ G ∩ U

φ(p) ∈ φ(G ∩ U)

B(φ(p),r) ⊆ φ(G ∩ U)

W = φ⁻¹(B(φ(p),r))

در نتیجه:

p ∈ W ⊆ G

از آنجا که گوی اقلیدسی همبند مسیری است و W با آن هم‌ریخت است، W نیز همبند مسیری است.

ارتباط با توپولوژی القایی منیفلد

علت اصلی برقرار بودن این قضیه آن است که توپولوژی منیفلد به‌صورت محلی همان ساختار توپولوژیک فضای اقلیدسی را دارد. چارت‌ها مجموعه‌های باز کوچک منیفلد را به مجموعه‌های باز فضای اقلیدسی منتقل می‌کنند.

U ⊆ M ↔ V ⊆ ℝⁿ

در فضای اقلیدسی، پیرامون هر نقطه گوی‌های باز و همبند مسیری وجود دارند. وارون چارت این گوی‌ها را به همسایگی‌های باز و همبند مسیری در منیفلد تبدیل می‌کند.

بنابراین منشأ همبندی موضعی منیفلد، ساختار محلی اقلیدسی آن است.

ساخت یک پایهٔ محلی همبند

اگر بخواهیم پایه‌ای صریح در نقطهٔ p بسازیم، ابتدا عدد مثبت r را چنان انتخاب می‌کنیم که:

B(φ(p),r) ⊆ V

سپس برای هر عدد طبیعی m تعریف می‌کنیم:

Wₘ = φ⁻¹(B(φ(p),r/m))

خانوادهٔ حاصل چنین است:

𝓑ₚ = {Wₘ : m ∈ ℕ}

هر Wₘ دارای ویژگی‌های زیر است:

• در M باز است؛
• نقطهٔ p را در بر دارد؛
• همبند مسیری است؛
• با یک گوی باز در ℝⁿ هم‌ریخت است.

این مجموعه‌ها تودرتو هستند:

W₁ ⊇ W₂ ⊇ W₃ ⊇ ⋯

و درون هر همسایگی باز p، یکی از آن‌ها قرار می‌گیرد. پس این خانواده هم‌زمان یک پایهٔ شمارای محلی و یک پایهٔ محلی همبند مسیری است.

پیوند دو قضیهٔ اخیر

از یک خانوادهٔ واحد می‌توان هر دو خاصیت اخیر منیفلد را نتیجه گرفت:

Wₘ = φ⁻¹(B(φ(p),r/m))

چون این خانواده با اعداد طبیعی شاخص‌گذاری شده است، شماراست؛ پس اصل اول شمارش‌پذیری را نتیجه می‌دهد.

چون هر عضو آن با یک گوی باز اقلیدسی هم‌ریخت است، همبند مسیری است؛ پس همبندی مسیری موضعی را نتیجه می‌دهد.

آیا همبندی موضعی، همبندی کل منیفلد را نتیجه می‌دهد؟

خیر. ممکن است یک منیفلد همبند موضعی باشد، اما خودش همبند نباشد.

برای مثال، اجتماع مجزای دو دایره را در نظر می‌گیریم:

M = S¹ ⊔ S¹

هر نقطهٔ M دارای همسایگی‌های کوچکی است که با یک بازهٔ باز در ℝ هم‌ریخت‌اند. بنابراین M همبند موضعی است؛ ولی کل M دارای دو مؤلفهٔ جداگانه است و همبند نیست.

پس رابطهٔ زیر در حالت کلی درست نیست:

locally connected ⇒ connected

پیامد مهم: مؤلفه‌های منیفلد باز هستند

در هر فضای همبند موضعی، مؤلفه‌های همبندی بازند. ازاین‌رو مؤلفه‌های همبندی هر منیفلد مجموعه‌هایی باز هستند.

برای توضیح، مؤلفهٔ همبندی نقطهٔ p را با Cₚ نشان می‌دهیم. برای هر نقطهٔ q در Cₚ، یک همسایگی باز و همبند W از q وجود دارد.

چون W همبند است و با Cₚ اشتراک دارد، باید تمام W در Cₚ قرار گیرد:

q ∈ W ⊆ Cₚ

پس هر نقطهٔ Cₚ یک همسایگی باز دارد که در Cₚ قرار گرفته است. بنابراین Cₚ باز است.

پیامد قوی‌تر: مؤلفه‌های همبندی و مسیری یکسان‌اند

منیفلد همبند مسیری موضعی است. در فضاهای همبند مسیری موضعی، مؤلفه‌های همبندی با مؤلفه‌های همبندی مسیری برابرند.

بنابراین اگر یک منیفلد همبند باشد، الزاماً همبند مسیری نیز هست:

M connected ⇒ M path-connected

این نتیجه برای فضاهای توپولوژیک عمومی درست نیست؛ اما برای منیفلدها، به سبب ساختار محلی اقلیدسی، برقرار است.

نتیجه

هر نقطهٔ یک منیفلد دارای چارتی است که همسایگی آن را با مجموعه‌ای باز در فضای اقلیدسی هم‌ریخت می‌کند. درون هر مجموعهٔ باز اقلیدسی، گوی باز کوچکی پیرامون نقطه وجود دارد. این گوی همبند مسیری است و پیش‌تصویر آن تحت چارت نیز همبند مسیری خواهد بود.

W = φ⁻¹(B(φ(p),r))

بنابراین هر منیفلد نه‌تنها همبند موضعی، بلکه همبند مسیری موضعی است.

خلاصهٔ نهایی: چارت، گوی‌های کوچک و همبند فضای اقلیدسی را به همسایگی‌های کوچک و همبند روی منیفلد منتقل می‌کند؛ ازاین‌رو، آنچه در مختصات پیوسته و یکپارچه است، بر سطح منیفلد نیز محلی و پیوسته می‌ماند.