ریاضیات

ادامهٔ قضیه: اصل اول شمارش‌پذیری در توپولوژی منیفلد

در تصاویر تازه، نوشته‌ها بسیار کم‌رنگ‌اند؛ بااین‌حال، نمادهای مربوط به پایهٔ توپولوژی، مجموعه‌های A و B، شرط تهی بودن اشتراک آن‌ها و نمودار انتقال میان ناحیهٔ مختصاتی و فضای اقلیدسی دیده می‌شود. این بخش را می‌توان ادامهٔ برهان پیشین و بررسی چند نکتهٔ ظریف آن دانست.

۱. صورت دقیق قضیه

قضیه. هر فضای محلی‌اقلیدسی، و در نتیجه هر منیفلد توپولوژیک، اصل اول شمارش‌پذیری را ارضا می‌کند.

یعنی برای هر نقطهٔ p از M، خانواده‌ای شمارا از همسایگی‌های باز p وجود دارد که درون هر همسایگی دلخواه از p، یکی از اعضای آن خانواده قرار می‌گیرد.

∀p ∈ M, ∃𝓑ₚ = {B₁,B₂,B₃,…}

به‌گونه‌ای که برای هر مجموعهٔ باز G شامل p، عدد طبیعی mای موجود باشد که:

p ∈ Bₘ ⊆ G

۲. انتخاب چارت پیرامون نقطه

نقطهٔ دلخواه p را از M برمی‌گزینیم. چون M محلی‌اقلیدسی است، چارت مختصاتی زیر وجود دارد:

(U,φ)

که در آن:

p ∈ U ⊆ M

φ : U → V

V = φ(U) ⊆ ℝⁿ

و φ یک هم‌ریختی توپولوژیک است. نقطهٔ متناظر با p در فضای مختصات را چنین می‌نامیم:

x = φ(p)

۳. انتخاب یک گوی درون ناحیهٔ مختصاتی

چون V در ℝⁿ باز است و x در V قرار دارد، عدد حقیقی مثبت r وجود دارد که گوی باز با مرکز x و شعاع r کاملاً در V باشد:

B(x,r) ⊆ V

اکنون برای هر عدد طبیعی m تعریف می‌کنیم:

Vₘ = B(x,r/m)

این گوی‌ها همگی بازند، نقطهٔ x را در بر دارند و به‌صورت تودرتو کوچک می‌شوند:

V₁ ⊇ V₂ ⊇ V₃ ⊇ ⋯

سپس آن‌ها را با وارون چارت به منیفلد منتقل می‌کنیم:

Uₘ = φ⁻¹(Vₘ)

چون φ هم‌ریختی است، هر Uₘ در U باز است. از آنجا که U نیز در M باز است، Uₘ در M باز خواهد بود. همچنین:

p ∈ Uₘ

پس خانوادهٔ زیر، خانواده‌ای شمارا از همسایگی‌های باز p است:

𝓑ₚ = {Uₘ : m ∈ ℕ}

۴. چرا این خانواده پایهٔ محلی است؟

مجموعهٔ باز دلخواه G را در نظر می‌گیریم که نقطهٔ p را در بر داشته باشد:

p ∈ G

لازم نیست تمام G در ناحیهٔ چارت U قرار داشته باشد. بنابراین آن را با U قطع می‌کنیم:

p ∈ G ∩ U

مجموعهٔ G ∩ U در U باز است. چون φ یک هم‌ریختی است، تصویر آن نیز در V باز خواهد بود:

φ(G ∩ U) is open in V

از آنجا که V خود در ℝⁿ باز است، مجموعهٔ φ(G ∩ U) در ℝⁿ نیز باز است. همچنین:

x = φ(p) ∈ φ(G ∩ U)

پس عدد حقیقی مثبت ε وجود دارد که:

B(x,ε) ⊆ φ(G ∩ U)

اکنون عدد طبیعی m را آن‌قدر بزرگ انتخاب می‌کنیم که:

r/m < ε

در این صورت:

Vₘ = B(x,r/m) ⊆ B(x,ε)

و در نتیجه:

Vₘ ⊆ φ(G ∩ U)

با گرفتن پیش‌تصویر تحت φ به دست می‌آوریم:

φ⁻¹(Vₘ) ⊆ G ∩ U

از تعریف Uₘ نتیجه می‌شود:

p ∈ Uₘ ⊆ G ∩ U ⊆ G

پس درون هر همسایگی باز G از p، یکی از اعضای خانوادهٔ شمارای 𝓑ₚ قرار دارد. بنابراین 𝓑ₚ یک پایهٔ شمارای محلی در p است.

۵. نقش اصلی هم‌ریختی چارت

در این اثبات، چارت فقط وسیله‌ای برای نسبت دادن مختصات عددی به نقطه‌ها نیست. هم‌ریختی بودن φ سه ویژگی مهم را تضمین می‌کند:

• φ پیوسته است؛
• φ یک‌به‌یک و پوشاست؛
• وارون آن، یعنی φ⁻¹، نیز پیوسته است.

به همین علت، مجموعه‌های باز بدون آسیب از منیفلد به فضای اقلیدسی و از فضای اقلیدسی به منیفلد منتقل می‌شوند:

Uₘ open in M ⇔ φ(Uₘ) open in V

پس پایهٔ محلی در فضای اقلیدسی، به‌وسیلهٔ φ⁻¹ به پایهٔ محلی روی منیفلد تبدیل می‌شود.

۶. تعبیر نمودار مجموعه‌های تودرتو

در نمودار بالای تصویر نخست، دو ناحیهٔ تودرتو در فضای مختصات و دو ناحیهٔ متناظر در منیفلد دیده می‌شوند. مضمون نمودار چنین است:

Vₘ ⊆ φ(G ∩ U) ⊆ V

و پس از بازگرداندن با وارون چارت:

Uₘ ⊆ G ∩ U ⊆ U

روابط متناظر عبارت‌اند از:

Uₘ = φ⁻¹(Vₘ)

Vₘ = φ(Uₘ)

کوچک شدن گوی‌های مختصاتی در ℝⁿ دقیقاً به کوچک شدن همسایگی‌های p در M تبدیل می‌شود.

۷. آیا لازم است یک خانوادهٔ شمارا برای تمام منیفلد داشته باشیم؟

خیر. این نکته در فهم قضیه بسیار مهم است.

اصل اول شمارش‌پذیری می‌گوید برای هر نقطهٔ p، یک خانوادهٔ شمارای محلی 𝓑ₚ وجود داشته باشد. این خانواده می‌تواند از نقطه‌ای به نقطهٔ دیگر تغییر کند.

p ↦ 𝓑ₚ

اما اصل دوم شمارش‌پذیری می‌گوید یک خانوادهٔ شمارای واحد برای توپولوژی کل M وجود داشته باشد:

𝓑 = {B₁,B₂,B₃,…}

به‌گونه‌ای که هر مجموعهٔ باز در M اجتماع اعضایی از 𝓑 باشد.

بنابراین، در اصل اول ممکن است به ازای هر نقطه خانواده‌ای جداگانه داشته باشیم؛ ولی در اصل دوم باید یک پایهٔ شمارای سراسری داشته باشیم.

۸. رابطه با شرط هاسدورف

در تصاویر، نمودار دو ناحیهٔ A و B و رابطهٔ تهی بودن اشتراک آن‌ها نیز دیده می‌شود:

A ∩ B = ∅

این قسمت به احتمال زیاد به شرط هاسدورف مربوط است. فضای M هاسدورف است اگر برای هر دو نقطهٔ متمایز p و q، دو همسایگی باز A و B وجود داشته باشد که:

p ∈ A

q ∈ B

A ∩ B = ∅

باید توجه کرد که هاسدورف بودن با اصل اول شمارش‌پذیری یکسان نیست. این دو شرط، دو وظیفهٔ متفاوت دارند:

• اصل اول شمارش‌پذیری، همسایگی‌های هر نقطه را با یک دنبالهٔ شمارا کنترل می‌کند.
• شرط هاسدورف، جداسازی دو نقطهٔ متمایز را تضمین می‌کند.

محلی‌اقلیدسی بودن به‌تنهایی اصل اول شمارش‌پذیری را نتیجه می‌دهد، اما لزوماً هاسدورف بودن را نتیجه نمی‌دهد.

۹. دو حالت در جداسازی نقاط با استفاده از چارت‌ها

اگر هدف بخش مربوط به A و B اثبات هاسدورف بودن باشد، باید میان دو حالت فرق گذاشت.

حالت نخست: هر دو نقطه در یک ناحیهٔ چارت باشند

فرض کنیم p و q دو نقطهٔ متمایز باشند که هر دو در U قرار دارند:

p,q ∈ U

چون φ یک‌به‌یک است، تصاویر آن‌ها متمایزند:

φ(p) ≠ φ(q)

فضای ℝⁿ هاسدورف است؛ بنابراین دو مجموعهٔ باز و مجزای C و D وجود دارند که:

φ(p) ∈ C

φ(q) ∈ D

C ∩ D = ∅

اکنون تعریف می‌کنیم:

A = φ⁻¹(C)

B = φ⁻¹(D)

در نتیجه A و B دو همسایگی باز و مجزای p و q هستند؛ زیرا:

A ∩ B = φ⁻¹(C ∩ D) = φ⁻¹(∅) = ∅

حالت دوم: دو نقطه در یک چارت مشترک نباشند

از محلی‌اقلیدسی بودن به‌تنهایی نمی‌توان نتیجه گرفت که هر دو نقطهٔ متمایز در یک چارت مشترک قرار دارند. همچنین نمی‌توان همواره نتیجه گرفت که ناحیه‌های چارت آن‌ها را می‌توان مجزا انتخاب کرد.

بنابراین برای جداسازی سراسری هر دو نقطهٔ متمایز، باید شرط هاسدورف بودن را جداگانه فرض کنیم، مگر آنکه M از ابتدا زیر‌فضایی از یک فضای هاسدورف مانند ℝᴺ باشد و توپولوژی زیر‌فضایی گرفته باشد.

این همان دلیل آن است که در بسیاری از کتاب‌ها منیفلد توپولوژیک را فضایی تعریف می‌کنند که هم‌زمان:

• محلی‌اقلیدسی باشد؛
• هاسدورف باشد؛
• اصل دوم شمارش‌پذیری را ارضا کند.

۱۰. اگر توپولوژی M از فضای اقلیدسی القا شده باشد

اگر M زیرمجموعه‌ای از ℝᴺ باشد و توپولوژی آن، توپولوژی زیر‌فضایی القاشده از ℝᴺ باشد، آنگاه هاسدورف بودن خودکار است.

برای دو نقطهٔ متمایز p و q در M، فاصلهٔ آن‌ها مثبت است:

d(p,q) > 0

شعاع زیر را انتخاب می‌کنیم:

r = d(p,q)/3

دو گوی باز زیر در ℝᴺ مجزا هستند:

B(p,r) ∩ B(q,r) = ∅

با تقاطع آن‌ها با M، دو مجموعهٔ باز در توپولوژی زیر‌فضایی به دست می‌آیند:

A = M ∩ B(p,r)

B = M ∩ B(q,r)

این دو مجموعه به‌ترتیب شامل p و q هستند و اشتراکشان تهی است:

A ∩ B = ∅

پس هر زیر‌فضای ℝᴺ هاسدورف است.

۱۱. پیامدی مهم: همگرایی دنباله‌ها

اصل اول شمارش‌پذیری سبب می‌شود بسیاری از مفاهیم توپولوژیک روی منیفلدها با دنباله‌ها بررسی شوند.

فرض کنیم 𝓑ₚ خانواده‌ای نزولی از پایه‌های محلی p باشد:

U₁ ⊇ U₂ ⊇ U₃ ⊇ ⋯

اگر برای هر m نقطه‌ای مانند pₘ را از Uₘ انتخاب کنیم، آن‌گاه دنبالهٔ حاصل به p همگرا می‌شود:

pₘ → p

زیرا هر همسایگی G از p، یکی از Uₘها را در بر می‌گیرد؛ و از آن مرحله به بعد، اعضای دنباله در G قرار می‌گیرند.

۱۲. بسته بودن و دنباله‌ها در منیفلد

در فضای اصل اول شمارش‌پذیر، بسته بودن مجموعه‌ها را نیز می‌توان با دنباله‌ها تشخیص داد.

برای زیرمجموعهٔ A از M داریم:

A is closed

اگر و تنها اگر هرگاه دنباله‌ای از نقاط A به نقطهٔ p در M همگرا شود، آن نقطه نیز در A باشد:

aₘ ∈ A and aₘ → p ⇒ p ∈ A

دلیل اهمیت این نتیجه آن است که در فضاهای توپولوژیک عمومی، دنباله‌ها همیشه برای تشخیص بسته بودن کافی نیستند؛ اما اصل اول شمارش‌پذیری این مشکل را برطرف می‌کند.

۱۳. پیوستگی و دنباله‌ها

اگر M اصل اول شمارش‌پذیر باشد، برای بررسی پیوستگی نگاشت:

f : M → N

می‌توان از دنباله‌ها استفاده کرد. نگاشت f در p پیوسته است اگر و تنها اگر برای هر دنبالهٔ همگرا به p داشته باشیم:

pₘ → p ⇒ f(pₘ) → f(p)

ازاین‌رو اصل اول شمارش‌پذیری تنها یک شرط صوری نیست؛ بلکه اجازه می‌دهد حساب حد و پیوستگی در منیفلد، همانند فضای اقلیدسی، با دنباله‌ها انجام شود.

۱۴. جمع‌بندی

هستهٔ برهان چنین است:

1. پیرامون p یک چارت (U,φ) انتخاب می‌کنیم.
2. در فضای مختصاتی، گوی‌های شمارای B(φ(p),r/m) را می‌سازیم.
3. این گوی‌ها را با φ⁻¹ به M بازمی‌گردانیم.
4. خانوادهٔ حاصل درون هر همسایگی p عضوی دارد.

Uₘ = φ⁻¹(B(φ(p),r/m))

𝓑ₚ = {Uₘ : m ∈ ℕ}

پس هر نقطهٔ منیفلد یک پایهٔ شمارای محلی دارد و توپولوژی منیفلد اصل اول شمارش‌پذیری را ارضا می‌کند.

اما نمودار مجموعه‌های A و B یادآور نکته‌ای دیگر است: اصل اول شمارش‌پذیری و هاسدورف بودن دو خاصیت مستقل‌اند. اولی از ساختار محلی اقلیدسی حاصل می‌شود؛ دومی باید جداگانه فرض یا از قرار گرفتن منیفلد در فضایی هاسدورف استنتاج شود.