ریاضیات

عنوان کلی: مبانی منیفلدها و ساختارهای رده‌ای

عنوان‌های جزئی

۱. ساخت منیفلد استوانه‌ای از حاصل‌ضرب دو منیفلد ساده

۲. تعریف چارت‌ها و بررسی نگاشت‌های انتقال

۳. بررسی تابع‌گر تصویر و ساختارهای هموار

۴. تفسیر استوانه به‌عنوان شیء رده منیفلدهای هموار

مبانی مثال

در این مثال، استوانه را به‌صورت حاصل‌ضرب دایره و خط حقیقی می‌سازیم. این ساختار نمونه‌ای مناسب برای پیوند دادن چند مفهوم بنیادی است:

- منیفلد هموار؛

- حاصل‌ضرب منیفلدها؛

- چارت و اطلس؛

- نگاشت انتقال؛

- زیرفضای هموار؛

- تابع‌گر فراموشکار از رده منیفلدها به رده فضاهای توپولوژیک.

دایره به‌تنهایی یک منیفلد یک‌بعدی است و خط حقیقی نیز یک منیفلد یک‌بعدی به شمار می‌آید. حاصل‌ضرب آن‌ها، منیفلدی دوبعدی می‌سازد که همان استوانه است.

صورت مثال

استوانه را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

C = S¹ × ℝ

که در آن:

S¹ = { (x, y) ∈ ℝ² : x² + y² = 1 }

همچنین می‌توان استوانه را به‌عنوان زیرمجموعه‌ای از فضای سه‌بعدی نوشت:

C = { (x, y, z) ∈ ℝ³ : x² + y² = 1 }

هدف آن است که نشان دهیم C یک منیفلد هموار دوبعدی است و سپس ساختار رده‌ای آن را بررسی کنیم.

مقدمه

دایره در هر نقطه مانند یک بازه کوچک از خط حقیقی رفتار می‌کند. بنابراین برای توصیف موضعی آن، کافی است نقاطی از دایره را حذف کنیم تا بتوانیم باقی‌مانده را با یک بازه حقیقی مقایسه کنیم.

از سوی دیگر، خط حقیقی از ابتدا یک دستگاه مختصات سراسری دارد. پس برای توصیف موضعی استوانه، از چارت‌های دایره و مختصات خط حقیقی استفاده می‌کنیم.

این مثال نشان می‌دهد که چگونه ساختار موضعی دو منیفلد، در حاصل‌ضرب آن‌ها ترکیب می‌شود و منیفلدی با بعد مجموع ابعاد پدید می‌آورد.

بدنه

۱. چارت‌های دایره

دو نقطه متمایز از دایره را در نظر می‌گیریم:

N = (0, 1)

S = (0, −1)

دو مجموعه باز زیر را تعریف می‌کنیم:

U_N = S¹ \ {N}

U_S = S¹ \ {S}

با تصویرنگاشت استریوگرافیک، هر یک از این دو مجموعه با خط حقیقی یکریخت می‌شود:

φ_N : U_N → ℝ

φ_S : U_S → ℝ

فرمول این چارت‌ها به صورت زیر است:

φ_N(x, y) = x / (1 − y)

φ_S(x, y) = x / (1 + y)

وارون چارت نخست چنین است:

φ_N⁻¹(u) = ( 2u / (1 + u²) , (u² − 1) / (1 + u²) )

و وارون چارت دوم برابر است با:

φ_S⁻¹(v) = ( 2v / (1 + v²) , (1 − v²) / (1 + v²) )

۲. ساخت چارت‌های استوانه

اکنون از چارت‌های دایره و مختصات خط حقیقی استفاده می‌کنیم. دو مجموعه زیر را در استوانه در نظر می‌گیریم:

V_N = U_N × ℝ

V_S = U_S × ℝ

هر دو مجموعه باز هستند و چارت‌های مربوط به آن‌ها چنین تعریف می‌شوند:

Φ_N : V_N → ℝ²

Φ_N(p, t) = (φ_N(p), t)

و:

Φ_S : V_S → ℝ²

Φ_S(p, t) = (φ_S(p), t)

بنابراین هر نقطه از استوانه، در یک همسایگی مناسب، با یک زوج عدد حقیقی توصیف می‌شود. ازاین‌رو استوانه موضعاً با صفحه حقیقی ℝ² یکریخت است.

پس:

dim C = dim S¹ + dim ℝ = 1 + 1 = 2

۳. نگاشت انتقال

اشتراک دو مجموعه چارت برابر است با:

V_N ∩ V_S = (U_N ∩ U_S) × ℝ

از آنجا که:

U_N ∩ U_S = S¹ \ {N, S}

مختصات نخستین مؤلفه در اشتراک، ناصفر است. بنابراین نگاشت انتقال از چارت شمالی به چارت جنوبی به صورت زیر به دست می‌آید:

Φ_S ∘ Φ_N⁻¹(u, t) = ( u / u² , t )

که می‌توان آن را ساده‌تر نوشت:

Φ_S ∘ Φ_N⁻¹(u, t) = ( 1 / u , t )

این نگاشت روی مجموعه زیر تعریف می‌شود:

(ℝ \ {0}) × ℝ

تابع ۱ / u در هر نقطه‌ای که u ≠ ۰ باشد، هموار است. مؤلفه دوم نیز تابع همانی است. بنابراین نگاشت انتقال از رده C∞ است.

در نتیجه، اطلس حاصل، یک اطلس هموار برای استوانه فراهم می‌کند.

۴. استوانه به‌عنوان زیرفضای فضای اقلیدسی

استوانه را می‌توان به‌صورت مجموعه صفرهای تابع زیر نیز تعریف کرد:

F : ℝ³ → ℝ

F(x, y, z) = x² + y² − 1

استوانه برابر است با:

C = F⁻¹(0)

مشتق تابع F برابر است با:

dF = (2x, 2y, 0)

روی استوانه، نمی‌توان هم‌زمان x و y را صفر گرفت؛ زیرا شرط x² + y² = 1 برقرار است. بنابراین مشتق F در تمام نقاط استوانه ناصفر است.

پس طبق قضیه مقدار منظم، C یک زیرفضای هموار دوبعدی از ℝ³ است.

۵. فضای مماس استوانه

در نقطه‌ای مانند:

p = (x, y, z) ∈ C

بردار نرمال استوانه برابر است با:

n_p = (x, y, 0)

در نتیجه، فضای مماس استوانه در نقطه p شامل تمام بردارهایی است که بر بردار نرمال عمود باشند:

T_pC = { (a, b, c) ∈ ℝ³ : xa + yb = 0 }

این فضا دوبعدی است. یک جهت مماس، در راستای حرکت روی دایره و جهت دیگر، در راستای حرکت در امتداد محور استوانه قرار دارد.

برای نمونه، در نقطه:

p = (1, 0, z)

شرط فضای مماس چنین می‌شود:

a = 0

بنابراین:

T_pC = { (0, b, c) : b, c ∈ ℝ }

۶. نگاشت تصویر و ساختار رده‌ای

نگاشت تصویر از استوانه به دایره را در نظر بگیرید:

π₁ : C → S¹

π₁(p, t) = p

همچنین نگاشت تصویر دوم چنین است:

π₂ : C → ℝ

π₂(p, t) = t

هر دو نگاشت هموارند؛ زیرا در مختصات محلی به صورت تصویرگیری معمولی از ℝ² ظاهر می‌شوند:

(u, t) ↦ u

(u, t) ↦ t

در زبان نظریه رده‌ها، می‌توان رده Man را در نظر گرفت که:

- اشیای آن، منیفلدهای هموار هستند؛

- ریخت‌های آن، نگاشت‌های هموار هستند.

در این رده، استوانه C همراه با دو نگاشت π₁ و π₂، حاصل‌ضرب دو شیء S¹ و ℝ است:

C = S¹ × ℝ

این بدان معناست که برای هر منیفلد هموار M و هر دو نگاشت هموار f و g به ترتیب از M به S¹ و ℝ، یک و تنها یک نگاشت هموار h از M به C وجود دارد به طوری که:

π₁ ∘ h = f

π₂ ∘ h = g

نگاشت مورد نظر به صورت زیر ساخته می‌شود:

h(q) = (f(q), g(q))

این همان ویژگی جهانی حاصل‌ضرب در رده منیفلدهای هموار است.

۷. تابع‌گر فراموشکار

اکنون تابع‌گری را در نظر می‌گیریم که ساختار هموار را کنار می‌گذارد و فقط فضای توپولوژیک زیربنایی را نگه می‌دارد:

U : Man → Top

این تابع‌گر:

- هر منیفلد را به فضای توپولوژیک زیربنایی آن می‌فرستد؛

- هر نگاشت هموار را به نگاشت پیوسته متناظر می‌فرستد.

برای استوانه داریم:

U(C) = U(S¹ × ℝ)

و در رده فضاهای توپولوژیک نیز:

U(C) ≅ U(S¹) × U(ℝ)

تابع‌گر U وفادار است، زیرا اگر دو نگاشت هموار متفاوت باشند، به‌عنوان نگاشت‌های مجموعه‌ای یا توپولوژیک نیز متفاوت‌اند. اما در حالت کلی کامل نیست؛ زیرا هر نگاشت پیوسته میان فضاهای زیربنایی الزاماً هموار نیست.

پس باید میان این دو مفهوم تمایز بگذاریم:

- کامل بودن تابع‌گر یعنی هر ریخت در رده مقصد که میان تصاویر دو شیء پدید آید، از یک ریخت در رده مبدأ به دست آید.

- وفادار بودن تابع‌گر یعنی نگاشت آن بر ریخت‌ها یک‌به‌یک باشد.

تابع‌گر فراموشکار از منیفلدهای هموار به فضاهای توپولوژیک، معمولاً وفادار است، اما کامل نیست.

نتایج

۱. استوانه یک منیفلد هموار دوبعدی است:

C = S¹ × ℝ

۲. چارت‌های آن از ترکیب چارت‌های دایره با مختصات خط حقیقی ساخته می‌شوند.

۳. نگاشت انتقال استوانه هموار است؛ زیرا در مختصات محلی به صورت نگاشت:

(u, t) ↦ (1 / u, t)

ظاهر می‌شود.

۴. استوانه به‌عنوان مجموعه صفرهای یک تابع هموار با مشتق ناصفر، یک زیرفضای منظم از ℝ³ است.

۵. فضای مماس استوانه در هر نقطه دوبعدی است و دو جهت هندسی دارد: جهت چرخش پیرامون محور و جهت حرکت در امتداد محور.

۶. در رده منیفلدهای هموار، استوانه حاصل‌ضرب دایره و خط حقیقی است و ویژگی جهانی حاصل‌ضرب را داراست.

۷. تابع‌گر فراموشکار ساختار هموار را حذف می‌کند؛ اما حذف ساختار به معنای حفظ همه ریخت‌ها نیست. ازاین‌رو وفاداری و کامل بودن تابع‌گر باید جداگانه بررسی شوند.

**جمع‌بندی نهایی:**

استوانه در ظاهر سطحی ساده و آشناست؛ اما در درون خود چند اصل بنیادین را گرد آورده است: ساخت موضعی منیفلد، همواری نگاشت‌های انتقال، توصیف به‌عنوان زیرفضای منظم، ساخت فضای مماس و تحقق ویژگی جهانی حاصل‌ضرب. بدین‌سان، هندسه و نظریه رده‌ها در یک مثال واحد به هم می‌رسند؛ یکی شکل را می‌بیند و دیگری نسبت میان شکل‌ها را.