ریاضیات

**مقدمات**

برای فهم این مثال، باید دو نکته را از هم جدا کنیم:

یکی این‌که فضا موضعاً اقلیدسی باشد، و دیگری این‌که هاسدورف باشد.

در تعریف منیفلد، هر دو شرط لازم‌اند؛ اگر یکی نباشد، فضا هرچند در هر تکه شبیه ℝ باشد، باز هم منیفلد نمی‌شود.

در این مثال، دو مبدأ برای یک خط در نظر گرفته شده است؛ یعنی دو نقطهٔ متمایز داریم که از دید محلی، هر دو مانند مبدأ خط حقیقی رفتار می‌کنند.

اما همین شباهت محلی، در سطح کلی به جدایی‌پذیری کامل منتهی نمی‌شود.

p = (0, 0) , q = (0, 1)

این دو نقطه متمایزند، ولی هر دو در همسایگی‌هایشان، بخش مشترکی از خط را «به اشتراک» می‌گذارند.

**بدنه**

اکنون دو چارت موضعی روی فضا در نظر می‌گیریم.

چارت اول، بخش اصلی خط را به ℝ می‌برد:

x : U → ℝ

و چارت دوم، همان ساختار را برای نسخهٔ دومِ مبدأ تعریف می‌کند:

x₁ : U₁ → ℝ

در ناحیه‌ای که این دو چارت هم‌پوشانی دارند، نگاشت انتقال برابر تابع همانی است؛ پس از نظر محلی هیچ ناسازگاری‌ای دیده نمی‌شود.

بنابراین فضا موضعاً اقلیدسی است و از دید اطلس، مشکلی ندارد.

اما مشکل در جداسازی دو مبدأ ظاهر می‌شود.

اگر دو همسایگی باز دلخواه برای p و q بگیریم، هر دو ناچار بخشی از نقاط نزدیک مبدأ را در بر می‌گیرند.

پس برای هر انتخابِ همسایگی‌ها، نقطه‌ای مانند (s, 0) با s ناصفر و به اندازهٔ کافی کوچک، در هر دو همسایگی پیدا می‌شود.

V ∩ W ≠ ∅

پس هیچ دو همسایگیِ بازِ جدا از هم برای p و q وجود ندارد.

این یعنی فضا هاسدورف نیست.

**نتیجه**

پس این مثال یک پیام روشن دارد:

موضعاً شبیه ℝ بودن، برای منیفلد بودن کافی نیست.

باید شرط هاسدورف هم برقرار باشد.

نتیجهٔ دقیق چنین است:

۱. فضا موضعاً اقلیدسی است.

۲. اطلس هموار دارد.

۳. اما هاسدورف نیست.

۴. پس منیفلد نیست.

این مثال از مشهورترین نمونه‌هاست برای این‌که ببینیم چرا در تعریف منیفلد، شرط هاسدورف را نمی‌توان حذف کرد.