ریاضیات

۱. علت وجود چارت (مفهوم و ضرورت آن)

بسیاری از فضاهای هندسی در مقیاس سراسری، دارای خمش، پیچیدگی و ساختاری نااقلیدسی هستند (مانند رویهٔ کره یا چنبره) و نمی‌توان یک دستگاه مختصات سراسری اقلیدسی را بر کل فضای آن‌ها اعمال کرد. ضرورت بهره‌گیری از چارت در دو اصل خلاصه می‌شود:

یک) انتقال محاسبات و حساب دیفرانسیل:
چارت‌ها پیوند میان یک فضای خمیدهٔ انتزاعی و فضای تخت اقلیدسی را برقرار می‌سازند. با این ابزار، مفاهیمی چون پیوستگی، مشتق‌پذیری، بردار مماس و انتگرال‌گیری روی منیفلد به محاسباتِ شناخته‌شده در فضای اقلیدسی تبدیل می‌شوند.

دو) دستگاه مختصات موضعی:
هر چارت به نقاط یک همسایگی باز، یک چندتایی مرتب از اعداد حقیقی نسبت می‌دهد.

از دیدگاه صوری، چارت یک جفت مرتب مانند (U, φ) است که در آن U مجموعه‌ای باز در منیفلد M و φ یک نگاشت دوسویی و دوطرفه پیوسته (هومئومورفیسم) به یک زیرمجموعهٔ باز در فضای اقلیدسی است:

(U, φ) : φ : U → V ⊆ ℝⁿ

۲. تعریف اطلس

چون یک چارت به‌تنهایی معمولاً قادر به پوششِ تمام سطح منیفلد نیست، مجموعه‌ای از چارت‌ها برای پوشش کامل فضا گردآوری می‌شوند.

خانواده‌ای از چارت‌ها به‌صورت {(Uα, φα)} را روی فضای M یک اطلس می‌نامند هرگاه دو شرط زیر برقرار باشد:

شرط اول (پوشش سراسری):
اجتماع مجموعه‌های باز Uα، کل فضای M را بپوشاند:

⋃ Uα = M

شرط دوم (سازگاری در اشتراک‌ها / نگاشت‌های انتقال):
در نواحی هم‌پوشان دو چارت، نگاشت تغییر مختصات روی زیرمجموعه‌های اقلیدسی هموار و خوش‌تعریف باشد:

Uα ∩ Uβ ≠ ∅ ⇒ φβ ∘ φα⁻¹ : φα(Uα ∩ Uβ) → φβ(Uα ∩ Uβ)

۳. تعریف منیفلد (چندلایه)

یک منیفلد توپولوژیک nبُعدی، فضای توپولوژیکی مانند M است که سه ویژگی بنیادین زیر را دارا باشد:

یک) اقلیدسی موضعی بودن (Locally Euclidean):
هر نقطهٔ m از M دارای همسایگی بازی است که با یک مجموعهٔ باز از فضای اقلیدسی ℝⁿ هومئومورف است.

دو) هاسدورف بودن (Hausdorff / T₂):
برای هر دو نقطهٔ متمایز m₁ و m₂ در M، دو مجموعهٔ باز مجزای V₁ و V₂ وجود داشته باشند که نقاط را جدا سازند:

m₁ ≠ m₂ ∈ M ⇒ ∃ V₁, V₂ باز : m₁ ∈ V₁ , m₂ ∈ V₂ , V₁ ∩ V₂ = ∅

سه) شمارای دوم بودن (Second-Countable):
توپولوژی فضای M دارای یک پایهٔ شمارا از مجموعه‌های باز باشد که مانع از بروز ناهنجاری‌های ابعادی می‌گردد.

۴. همانریختی (هومئومورفیسم / Homomorphism)

اصطلاح همانریختی در ریاضیات متناسب با بسترِ بحث (توپولوژی یا جبر) به دو مفهوم بنیادین اطلاق می‌گردد:

الف) یکنواختی توپولوژیکی (Homeomorphism / هومئومورفیسم):
در بستر هندسه و منیفلدها، نگاشت f میان دو فضای توپولوژیک X و Y یک همانریختی توپولوژیک است هرگاه:

۱. f یک نگاشت دوسویی (یک‌به‌یک و پوشا) باشد.
۲. نگاشت f پیوسته باشد.
۳. نگاشت معکوس f⁻¹ نیز پیوسته باشد.

f : X → Y , f و f⁻¹ پیوسته

وجود چنین نگاشتی نشان می‌دهد که دو فضا از دیدگاه توپولوژیکی هم‌ارز و تغییرشکل‌پذیر به یکدیگرند (مانند نگاشت هر چارت به تصویرش در ℝⁿ).

ب) همانریختی جبری (Homomorphism / همومورفیسم):
در بستر جبر و ساختارهای ساخت‌یافته (مانند گروه‌ها، حلقه‌ها یا مدول‌ها)، نگاشتی میان دو ساختار است که اعمال جبری را حفظ می‌کند. برای نمونه برای دو گروه G و H:

f : G → H , ∀ a, b ∈ G : f(a * b) = f(a) · f(b)

در مطالعهٔ منیفلدها، همانریختی توپولوژیک (هومئومورفیسم) اساسِ اتصالِ چارت به فضای اقلیدسی و حفظِ ویژگی‌های موضعی است.