ریاضیات

مرور و جمع‌آوریِ مطالبِ پنج تصویر

این پنج صفحه، دو محورِ پیوسته را دنبال می‌کنند: نخست دستگاه و حدّ مستقیم؛ سپس مدول‌های تصویری و تابع‌گر Hom. بخش‌هایی از دست‌نوشته، به‌ویژه در دو تصویر پایانی، کم‌رنگ است؛ اما اسکلتِ ریاضیِ بحث روشن است. در ادامه، مطالب را با تصحیح و تکمیلِ لازم گرد آورده‌ام.

الف) دستگاهِ مستقیم

ابتدا باید یک مجموعهٔ مرتبِ جزئیِ جهت‌دار، مانند I، داشته باشیم. «جهت‌دار» بودن یعنی برای هر دو اندیس α و β در I، اندیسی مانند γ در I پیدا شود که هر دو از آن کوچک‌تر یا مساوی باشند:

α ≤ γ و β ≤ γ

این شرط مهم است: دو مرحلهٔ جدا از دستگاه بتوانند در مرحله‌ای بالاتر، به هم برسند.

اکنون یک دستگاه مستقیم از R-مدول‌ها عبارت است از خانواده‌ای از مدول‌ها:

(A_α)_α∈I

به همراهِ هم‌ریختی‌های گذار:

φ_αβ : A_α → A_β α ≤ β

که دو شرطِ سازگاری دارند:

φ_αα = ۱_Aα

φ_βγ ∘ φ_αβ = φ_αγ α ≤ β ≤ γ

یعنی رفتن از مرحلهٔ α به γ، چه یک‌باره و چه از راهِ β، یک نتیجه دارد.

ب) حدّ مستقیم و خانوادهٔ سازگار

حدّ مستقیمِ دستگاهِ بالا، مدولی مانند A است، همراه با نگاشت‌هایی:

ψ_α : A_α → A

که با نگاشت‌های گذار سازگارند:

ψ_α = ψ_β ∘ φ_αβ α ≤ β

این سازگاری می‌گوید عنصری از A_α و تصویرش در A_β، پس از ورود به A، یک عنصر محسوب می‌شوند.

نماد حدّ مستقیم:

A = lim→ A_α

یا در زبان نظریهٔ رده‌ها:

A = colim A_α

خانوادهٔ نگاشت‌های زیر را «سازگار» می‌نامیم:

ξ_α : A_α → B

هرگاه برای α ≤ β داشته باشیم:

ξ_α = ξ_β ∘ φ_αβ

خاصیت جهانیِ حدّ مستقیم می‌گوید برای هر چنین خانواده‌ای، دقیقاً یک هم‌ریختی وجود دارد:

ξ : A → B

به‌گونه‌ای که:

ξ ∘ ψ_α = ξ_α

پس حدّ مستقیم، عمومی‌ترین مقصدی است که تمام مراحل دستگاه را به‌نحوی سازگار در خود جمع می‌کند.

نکتهٔ رده‌ای

اگر I را به صورت یک رده در نظر بگیریم، به‌طوری‌که میان α و β، هرگاه α ≤ β باشد، دقیقاً یک ریخت از α به β وجود داشته باشد، دستگاه مستقیم در حقیقت یک تابع‌گر است:

I → R-Mod

و حدّ مستقیم همان هم‌حد، یا Colimit، این تابع‌گر است. بنابراین تعریفِ مدولیِ بالا، نمونهٔ خاصی از یک مفهوم کاملاً رده‌ای است.

ج) مثال بنیادین: زنجیرهٔ صعودی

اگر زیرمدول‌هایی از یک مدول M داشته باشیم:

A_۱ ⊆ A_۲ ⊆ A_۳ ⊆ ⋯

و نگاشت‌های گذار، همان نگاشت‌های شمول باشند، آنگاه:

lim→ A_n ≅ ⋃_n≥۱ A_n

یعنی حدّ مستقیم چیزی جز اجتماعِ زنجیرهٔ صعودی نیست. این نمونه، شهودی‌ترین صورتِ حدّ مستقیم است: هر مرحله در مرحلهٔ بعدی جا می‌گیرد و در پایان، همهٔ مراحل در اجتماع واحد گرد می‌آیند.

د) ساخت صریحِ حدّ مستقیم در ردهٔ مدول‌ها

برای ساختنِ حدّ مستقیم، نخست مجموع مستقیمِ همهٔ مدول‌ها را می‌گیریم:

⊕_α∈I A_α

سپس برای هر عنصر a از A_α و هر α ≤ β، عنصر a را با تصویرش φ_αβ(a) یکی می‌گیریم. به‌طور دقیق، زیرمدول N را با روابط زیر تولید می‌کنیم:

ι_β(φ_αβ(a)) − ι_α(a)

که در آن ι_α نگاشت شمول A_α به مجموع مستقیم است. آنگاه:

lim→ A_α ≅ (⊕_α∈I A_α) ⁄ N

پس حدّ مستقیم از «جمعِ همهٔ مراحل» ساخته می‌شود، اما روابطِ گذار، عناصر متناظر را در آن جمع هم‌ارز می‌کنند.

هـ) مرورِ مدول تصویری

دو صفحهٔ پایانی به قضیه‌ای دربارهٔ مدول تصویری می‌رسند. یادآوری کنیم: یک R-مدول P تصویری است اگر برای هر نگاشت پوشا:

f : B → C

و هر هم‌ریختی:

g : P → C

هم‌ریختیِ بالابرنده‌ای وجود داشته باشد:

g̃ : P → B

به‌طوری که:

f ∘ g̃ = g

یعنی هر نگاشت از P به مقصدِ یک پوشا، به مبدأ آن پوشا بالا می‌رود.

و) هم‌ریختی طبیعیِ A و Hom_R(R , A)

در یادداشت آمده است که برای هر R-مدول چپ A، هم‌ریختی طبیعی داریم:

A ≅ Hom_R(R , A)

این نتیجه بسیار اساسی است. تناظرِ مستقیم چنین است: به هر عنصر a از A، هم‌ریختی زیر را نسبت می‌دهیم:

f_a(r) = ra

در جهت معکوس، هر هم‌ریختی f از R به A، فقط با مقدارش روی عنصر واحد تعیین می‌شود:

f ↦ f(۱)

زیرا:

f(r) = f(r·۱) = rf(۱)

پس تابع‌گر زیر به‌طور طبیعی با تابع‌گر همانی هم‌ریخت است:

Hom_R(R , −) ≅ ۱_R-Mod

ز) نتیجه: R و مدول‌های آزاد تصویری‌اند

چون تابع‌گر همانی دقیق است، تابع‌گر زیر نیز دقیق خواهد بود:

Hom_R(R , −)

از معیار تصویری بودن نتیجه می‌شود:

R یک R-مدول تصویری است

و از این نتیجه، با استفاده از آن‌که هر مدول آزاد مجموع مستقیمِ نسخه‌هایی از R است، می‌گیریم:

هر R-مدول آزاد، تصویری است

نقشهٔ فشردهٔ مطالب

رشتهٔ پنهانِ این دو بحث چنین است: در حدّ مستقیم، اشیای پراکنده با نگاشت‌های سازگار به یک کلّ می‌پیوندند؛ و در مدول تصویری، نگاشت‌ها از سدِّ پوشاها می‌گذرند و به مبدأ بازمی‌گردند. آن‌جا وحدتِ مراحل است و این‌جا گشایشِ راه‌ها؛ هر دو، زبانِ ساختار و سازگاری‌اند.