ریاضیات

تکرارِ بحث با مثال‌های روشن

۱. حاصل‌ضرب و مجموع مستقیم

فرض کنید سه مدول داشته باشیم:

A₁ = ℤ ، A₂ = ℤ ، A₃ = ℤ

اگر خانواده متناهی باشد، حاصل‌ضرب و مجموع مستقیم در عمل یکی هستند:

ℤ × ℤ × ℤ ≅ ℤ ⊕ ℤ ⊕ ℤ

هر عضو، سه‌تایی‌ای مانند زیر است:

(2 , −1 , 5)

اما تفاوتِ اصلی هنگامی پدیدار می‌شود که خانواده نامتناهی باشد. برای نمونه، برای خانواده‌ای شمارا از نسخه‌های ℤ داریم:

∏_n∈ℕ ℤ

عضو این حاصل‌ضرب می‌تواند دنباله‌ای با بی‌نهایت مؤلفهٔ ناصفر باشد:

(1 , 1 , 1 , 1 , 1 , …)

ولی مجموع مستقیم:

⊕_n∈ℕ ℤ

تنها دنباله‌هایی را می‌پذیرد که شمار متناهی مؤلفهٔ ناصفر دارند. مثلاً:

(3 , 0 , −2 , 0 , 0 , 0 , …)

عضو مجموع مستقیم است؛ اما دنبالهٔ زیر عضو آن نیست:

(1 , 1 , 1 , 1 , 1 , …)

زیرا بی‌نهایت مؤلفهٔ ناصفر دارد.

۲. نگاشتِ مؤلفه‌ای بر حاصل‌ضرب

برای هر عدد طبیعی n، نگاشت زیر را در نظر بگیرید:

α_n : ℤ ⟶ ℤ

α_n(a) = 2a

این خانواده از نگاشت‌ها، یک نگاشت میان حاصل‌ضرب‌ها پدید می‌آورد:

∏ α_n : ∏_n∈ℕ ℤ ⟶ ∏_n∈ℕ ℤ

که به صورت مؤلفه‌به‌مؤلفه عمل می‌کند:

(a₁ , a₂ , a₃ , …) ⟼ (2a₁ , 2a₂ , 2a₃ , …)

مثلاً:

(1 , −2 , 0 , 4 , …) ⟼ (2 , −4 , 0 , 8 , …)

همین قاعده برای مجموع مستقیم نیز برقرار است:

⊕ α_n : ⊕_n∈ℕ ℤ ⟶ ⊕_n∈ℕ ℤ

و شرطِ متناهی بودنِ مؤلفه‌های ناصفر را حفظ می‌کند.

۳. مثال از کامل بودنِ دنباله‌ها

برای هر عدد طبیعی i، دنبالهٔ زیر در ردهٔ مدول‌های ℤ کامل است:

0 ⟶ ℤ ──αᵢ──→ ℤ ──βᵢ──→ ℤ₂ ⟶ 0

که در آن:

αᵢ(a) = 2a

βᵢ(b) = b mod 2

کامل بودن یعنی تصویرِ αᵢ دقیقاً هستهٔ βᵢ باشد:

Im(αᵢ) = 2ℤ

Ker(βᵢ) = 2ℤ

اکنون با گرفتن مجموع مستقیم، دنبالهٔ زیر نیز کامل خواهد بود:

0 ⟶ ⊕_i∈ℕ ℤ ⟶ ⊕_i∈ℕ ℤ ⟶ ⊕_i∈ℕ ℤ₂ ⟶ 0

برای نمونه، عضو زیر را در مجموع مستقیم می‌گیریم:

(4 , −6 , 0 , 10 , 0 , …)

تمام مؤلفه‌ها زوج‌اند؛ بنابراین تصویرِ عضوی از مجموع مستقیم نخست است:

(4 , −6 , 0 , 10 , 0 , …)

= (2 , −3 , 0 , 5 , 0 , …) × 2

همچنین تصویر آن تحت نگاشتِ پیمانهٔ ۲، صفر است. پس این عضو در هستهٔ نگاشت دوم قرار دارد و از سوی دیگر، در تصویر نگاشت نخست نیز هست.

۴. مثال از مدول‌های تصویری

هر مدول آزاد تصویری است. ساده‌ترین مثال، خودِ ℤ به‌عنوان ℤ-مدول است.

فرض کنید نگاشت پوشای زیر داده شده باشد:

p : ℤ ⟶ ℤ₆

p(a) = a mod 6

و نیز هم‌ریختی زیر را از ℤ به ℤ₆ در نظر بگیرید:

g : ℤ ⟶ ℤ₆

g(a) = 4a mod 6

برای بالابردن g از روی p، نگاشت زیر را انتخاب می‌کنیم:

λ : ℤ ⟶ ℤ

λ(a) = 4a

آنگاه:

p ∘ λ = g

زیرا:

p(λ(a)) = p(4a) = 4a mod 6 = g(a)

پس در این مثال، هم‌ریختی g از روی پوشای p بالابر دارد. این همان صورتِ عملیِ تصویری بودنِ ℤ است.

۵. چرا مجموع مستقیمِ مدول‌های تصویری، تصویری است؟

فرض کنید هر M_i تصویری باشد. برای نمونه، خانواده‌ای از مدول‌های آزاد را در نظر بگیرید:

M₁ = ℤ ، M₂ = ℤ ، M₃ = ℤ ، …

پس هر M_i تصویری است. مجموع مستقیم آن‌ها نیز آزاد است:

⊕_i∈ℕ ℤ

این مدول، مدول آزاد با پایهٔ زیر است:

e₁ , e₂ , e₃ , …

که در آن e_i فقط در مؤلفهٔ i-ام برابر ۱ است و در دیگر مؤلفه‌ها صفر است. مثلاً:

e₃ = (0 , 0 , 1 , 0 , 0 , …)

چون مجموع مستقیمِ بالا آزاد است، تصویری نیز هست.

به‌طور کلی‌تر:

همهٔ M_iها تصویری‌اند

⇔

⊕_i∈I M_i تصویری است

در جهتِ عکس نیز، هر M_i جمعوند مستقیمِ مجموع بزرگ است. مثلاً برای دو مدول M و N:

M ⊕ N

دارای نگاشت‌های طبیعیِ شمول و تصویر است:

ι_M : M ⟶ M ⊕ N

π_M : M ⊕ N ⟶ M

ι_M(m) = (m , 0)

π_M(m , n) = m

و ترکیب آن‌ها همانی است:

π_M ∘ ι_M = 1_M

پس M درون M ⊕ N یک جمعوند مستقیم است. از آن‌جا که جمعوند مستقیمِ یک شیء تصویری نیز تصویری است، تصویری بودنِ مجموع، تصویری بودنِ هر مؤلفه را نتیجه می‌دهد.

۶. خلاصهٔ نهایی

در خانوادهٔ نامتناهی، حاصل‌ضرب و مجموع مستقیم یکی نیستند:

∏_i∈I A_i

همهٔ خانواده‌های مرتب را می‌پذیرد؛ ولی:

⊕_i∈I A_i

فقط خانواده‌های با تکیه‌گاه متناهی را می‌پذیرد.

همچنین در ردهٔ مدول‌ها، مجموع مستقیم با شیء تصویری سازگار است:

M_i تصویری برای هر i

⇒

⊕_i∈I M_i تصویری

اما برای حاصل‌ضرب نامتناهی، چنین نتیجه‌ای در حالت کلی تضمین‌شده نیست.