ریاضیات

درس چهارم: لم یُونِدا و نمایش‌پذیری

۱. صورت اصلی لم یُونِدا

فرض کنید F تابع‌گری هم‌ورد از ردهٔ K به ردهٔ مجموعه‌ها باشد:

F : K → Set

برای هر شیء A در K، لم یُونِدا تناظر طبیعی زیر را بیان می‌کند:

Nat(HomK(A , −) , F) ≅ F(A)

سمت چپ شامل همهٔ تبدیل‌های طبیعی از تابع‌گر HomK(A , −) به F است و سمت راست، مجموعهٔ عناصر F(A) را نشان می‌دهد.

۲. ساخت تبدیل طبیعی از یک عنصر

یک عنصر x از F(A) انتخاب کنید:

x ∈ F(A)

از این عنصر تبدیل طبیعی زیر ساخته می‌شود:

η : HomK(A , −) ⇒ F

برای هر شیء X، مؤلفهٔ η نگاشتی از HomK(A , X) به F(X) است:

ηX : HomK(A , X) → F(X)

اگر f : A → X باشد، تعریف می‌کنیم:

ηX(f) = F(f)(x)

پس هر ریخت f، عنصر x را به عنصری از F(X) منتقل می‌کند.

۳. استخراج عنصر از تبدیل طبیعی

اکنون تبدیل طبیعی η را مفروض می‌گیریم:

η : HomK(A , −) ⇒ F

برای استخراج عنصر متناظر، مؤلفهٔ η در A را روی ریخت همانی ۱A اعمال می‌کنیم:

x = ηA(۱A)

این عنصر همان عنصری است که تبدیل طبیعی η را تعیین می‌کند.

۴. چرا ریخت همانی مهم است؟

هر ریخت f : A → X را می‌توان به صورت تصویر ریخت همانی A در نظر گرفت. طبیعی بودن η تضمین می‌کند که:

ηX(f) = F(f)(ηA(۱A))

بنابراین دانستن مقدار η روی ۱A، مقدار آن را روی همهٔ ریخت‌های f تعیین می‌کند.

۵. نمایش‌پذیری تابع‌گر

اگر تابع‌گر F به‌طور طبیعی با تابع‌گر هوم یک شیء A یکریخت باشد:

F ≅ HomK(A , −)

می‌گوییم F نمایش‌پذیر است و A را نمایش‌دهندهٔ F می‌نامیم.

در این حالت، می‌توان کل رفتار تابع‌گر F را با یک شیء A و ریخت‌های خارج‌شونده از آن توصیف کرد.

۶. تشخیص اشیا

اگر دو شیء A و B چنان باشند که:

HomK(A , −) ≅ HomK(B , −)

آنگاه:

A ≅ B

پس تابع‌گرهای هوم، اشیا را تا یکریختی تعیین می‌کنند.

۷. صورت دوگان لم یُونِدا

صورت دوگان لم یُونِدا چنین است:

Nat(HomK(− , A) , F) ≅ F(A)

در این صورت، F تابع‌گری از ردهٔ مقابل Kᵒᵖ به ردهٔ مجموعه‌هاست.

۸. جمع‌بندی درس

لم یُونِدا می‌گوید تبدیل‌های طبیعی از یک تابع‌گر هوم به F، دقیقاً با عناصر مقدار F در شیء پایه متناظرند. همچنین هر شیء را می‌توان از رفتار آن نسبت به همهٔ اشیای رده، تا یکریختی، شناخت.