درس دوم: تابعگر هومِ پَسورد
۱. تعریف تابعگر پَسورد
اکنون شیء B را ثابت میکنیم و برای هر شیء X، مجموعهٔ ریختها از X به B را در نظر میگیریم:
HomK(X , B)
این ساختار به تابعگر پَسورد زیر میانجامد:
HomK(− , B) : Kᵒᵖ → Set
نماد Kᵒᵖ ردهٔ مقابل K را نشان میدهد؛ در ردهٔ مقابل، جهت همهٔ ریختها معکوس میشود.
۲. اثر تابعگر بر ریختها
فرض کنید α : X → Y ریختی در K باشد. ترکیب با α نگاشتی از HomK(Y , B) به HomK(X , B) ایجاد میکند:
HomK(Y , B) → HomK(X , B)
اگر β : Y → B باشد، تصویر آن برابر است با:
β ↦ β ∘ α
در اینجا ابتدا از X به Y میرویم و سپس بهوسیلهٔ β به B میرسیم.
۳. علت پَسورد بودن
ریخت α در K از X به Y میرود، اما نگاشت القایی آن میان مجموعههای هوم از HomK(Y , B) به HomK(X , B) است. بنابراین جهت نگاشت القایی معکوس میشود.
به همین دلیل، تابعگر HomK(− , B) تابعگری پَسورد است.
۴. حفظ همانی
برای ریخت همانی ۱X داریم:
β ∘ ۱X = β
پس تابعگر پَسورد، ریختهای همانی را نیز حفظ میکند.
۵. حفظ ترکیب با جهت معکوس
فرض کنید:
α : X → Y
γ : Y → Z
اگر β : Z → B باشد، آنگاه:
β ∘ γ ∘ α
به دو شیوهٔ زیر به دست میآید:
(β ∘ γ) ∘ α
β ∘ (γ ∘ α)
بر اساس شرکتپذیری ترکیب، این دو مقدار برابرند؛ بنابراین تابعگر پَسورد نیز ساختار ردهای را حفظ میکند.
۶. مقایسهٔ دو تابعگر هوم
| تابعگر | ریختهای مورد مطالعه | جهت اثرگذاری |
|---|---|---|
| HomK(A , −) | ریختها از A به اشیا | همورد |
| HomK(− , B) | ریختها از اشیا به B | پَسورد |
۷. جمعبندی درس
تابعگر HomK(− , B) ریختهایی را مطالعه میکند که به شیء ثابت B وارد میشوند. پَسورد بودن آن از معکوس شدن جهت ریختهای القایی ناشی میشود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.