ریاضیات

یادداشت‌های ارسالی مربوط به **تابع‌گرهای هوم، تابع‌گرهای هم‌ورد و پَس‌ورد، تبدیل طبیعی میان آن‌ها و لم یُونِدا** هستند. بازنویسی منسجم این بخش برای بلاگفا:

```html

تابع‌گرهای هوم و لم یُونِدا

۱. تابع‌گر هومِ هم‌ورد

فرض کنید K یک رده و A شیئی ثابت در آن باشد. برای هر شیء X از K، مجموعهٔ ریخت‌ها از A به X را در نظر می‌گیریم:

HomK(A , X)

این ساختار با تغییر شیء X، یک تابع‌گر هم‌ورد از K به ردهٔ مجموعه‌ها ایجاد می‌کند:

HomK(A , −) : K → Set

اگر α : X → Y ریختی در K باشد، تابع‌گر هوم نگاشت زیر را القا می‌کند:

HomK(A , α) : HomK(A , X) → HomK(A , Y)

این نگاشت با ترکیب از سمت راست تعریف می‌شود. یعنی اگر f : A → X باشد، آنگاه:

HomK(A , α)(f) = α ∘ f

این تابع‌گر همانی‌ها و ترکیب‌ها را حفظ می‌کند:

HomK(A , ۱X)(f) = f

HomK(A , β ∘ α)(f)

=

HomK(A , β) ∘ HomK(A , α)(f)

۲. تابع‌گر هومِ پَس‌ورد

اکنون شیء B را ثابت می‌کنیم و برای هر شیء X، مجموعهٔ ریخت‌ها از X به B را در نظر می‌گیریم:

HomK(X , B)

اگر α : X → Y باشد، ترکیب با α نگاشتی در جهت مخالف ایجاد می‌کند:

HomK(Y , B) → HomK(X , B)

اگر β : Y → B باشد، مقدار این نگاشت برابر است با:

β ↦ β ∘ α

بنابراین هومِ پَس‌ورد یک تابع‌گر از ردهٔ مقابل Kᵒᵖ به ردهٔ مجموعه‌هاست:

HomK(− , B) : Kᵒᵖ → Set

در این تابع‌گر، جهت ریخت‌ها معکوس می‌شود؛ به همین دلیل آن را پَس‌ورد می‌نامیم.

۳. تابع‌گرهای هوم در ردهٔ گروه‌ها

اگر K ردهٔ گروه‌ها باشد، برای دو گروه A و B، مجموعهٔ HomK(A , B) شامل همهٔ همریختی‌های گروهی از A به B است.

هر همریختی α : B → C، نگاشت زیر را ایجاد می‌کند:

HomK(A , B) → HomK(A , C)

این نگاشت هر همریختی f : A → B را به α ∘ f می‌فرستد.

همچنین هر همریختی β : A′ → A، نگاشت زیر را ایجاد می‌کند:

HomK(A , B) → HomK(A′ , B)

که مقدار آن روی f برابر با f ∘ β است.

۴. تابع‌گر هوم در ردهٔ مدول‌ها

در ردهٔ مدول‌های راست روی حلقهٔ R نیز می‌توان تابع‌گرهای هوم را تعریف کرد:

HomR(M , −)

اگر α : N → P یک همریختی مدولی باشد، نگاشت القایی چنین است:

HomR(M , N) → HomR(M , P)

f ↦ α ∘ f

همچنین برای یک همریختی β : M′ → M، نگاشت زیر به دست می‌آید:

HomR(M , N) → HomR(M′ , N)

f ↦ f ∘ β

۵. تبدیل طبیعی میان تابع‌گرهای هوم

فرض کنید α : A′ → A ریختی در ردهٔ K باشد. این ریخت، یک تبدیل طبیعی میان تابع‌گرهای هوم ایجاد می‌کند:

HomK(A , −) ⇒ HomK(A′ , −)

مؤلفهٔ این تبدیل طبیعی در شیء X، نگاشتی از HomK(A , X) به HomK(A′ , X) است:

ηX : HomK(A , X) → HomK(A′ , X)

اگر f : A → X باشد، آنگاه:

ηX(f) = f ∘ α

طبیعی بودن یعنی برای هر ریخت γ : X → Y، نمودار زیر جابه‌جا باشد:

HomK(A , X) ──HomK(A , γ)──▶ HomK(A , Y)
     │ │
     ηX ηY
     ▼ ▼
HomK(A′ , X) ──HomK(A′ , γ)─▶ HomK(A′ , Y)

برابری متناظر با جابه‌جایی نمودار چنین است:

HomK(A′ , γ)(f ∘ α)

=

HomK(A , γ)(f) ∘ α

هر دو طرف برابر با γ ∘ f ∘ α هستند؛ بنابراین طبیعی بودن از شرکت‌پذیری ترکیب ریخت‌ها نتیجه می‌شود.

۶. لم یُونِدا

فرض کنید F یک تابع‌گر هم‌ورد از K به Set باشد. برای هر شیء A در K، تناظر طبیعی زیر برقرار است:

Nat(HomK(A , −) , F) ≅ F(A)

این رابطه می‌گوید که هر تبدیل طبیعی از تابع‌گر هوم HomK(A , −) به F، به‌طور یکتا با یک عنصر از F(A) متناظر است.

۷. ساخت تبدیل طبیعی از یک عنصر

عنصری مانند x از F(A) را انتخاب کنید:

x ∈ F(A)

از این عنصر می‌توان تبدیل طبیعی زیر را ساخت:

η : HomK(A , −) ⇒ F

مؤلفهٔ η در شیء X، نگاشتی از HomK(A , X) به F(X) است. برای هر f : A → X تعریف می‌کنیم:

ηX(f) = F(f)(x)

پس عنصر x، در اثر تابع‌گر F و ریخت f، به عنصری از F(X) تبدیل می‌شود.

۸. استخراج عنصر متناظر

برعکس، اگر تبدیل طبیعی η داده شده باشد:

η : HomK(A , −) ⇒ F

عنصر متناظر با آن از مؤلفهٔ η در شیء A و ریخت همانی ۱A به دست می‌آید:

x = ηA(۱A)

به همین دلیل، رفتار کامل تبدیل طبیعی با دانستن تنها یک عنصر، یعنی ηA(۱A)، تعیین می‌شود.

۹. نمایش‌پذیری تابع‌گر

اگر تابع‌گر F با تابع‌گر هومِ یک شیء A به‌طور طبیعی یکریخت باشد:

F ≅ HomK(A , −)

می‌گوییم F نمایش‌پذیر است و A را نمایش‌دهندهٔ F می‌نامیم.

نمایش‌پذیری یعنی همهٔ اطلاعات تابع‌گر F را می‌توان از طریق یک شیء مشخص و ریخت‌های خارج‌شونده از آن بیان کرد.

۱۰. نتیجهٔ لم یُونِدا دربارهٔ تشخیص اشیا

اگر برای دو شیء A و B تبدیل طبیعی یکریختی زیر وجود داشته باشد:

HomK(A , −) ≅ HomK(B , −)

آنگاه خودِ A و B یکریخت‌اند:

A ≅ B

بنابراین یک شیء را می‌توان از رفتار آن نسبت به همهٔ اشیای رده، تا یکریختی، بازشناخت.

۱۱. شکل دوگان لم یُونِدا

صورت دوگان لم یُونِدا برای تابع‌گر پَس‌ورد چنین است:

Nat(HomK(− , A) , F) ≅ F(A)

در این حالت، F تابع‌گری از ردهٔ مقابل Kᵒᵖ به ردهٔ مجموعه‌هاست و ریخت‌های واردشونده به A بررسی می‌شوند.

۱۲. جمع‌بندی

تابع‌گر هومِ هم‌ورد، ریخت‌های خارج‌شونده از یک شیء ثابت را بررسی می‌کند. تابع‌گر هومِ پَس‌ورد، ریخت‌های واردشونده به یک شیء ثابت را مطالعه می‌کند.

هر ریخت در رده، یک تبدیل طبیعی میان تابع‌گرهای هوم ایجاد می‌کند. لم یُونِدا نیز بیان می‌کند که تبدیل‌های طبیعی از یک تابع‌گر هوم به تابع‌گری دلخواه، دقیقاً با عناصر مقدار آن تابع‌گر در شیء ثابت متناظرند.

پس شیء نه در انزوای خویش، بلکه در آیینهٔ همهٔ پیوندهایش شناخته می‌شود.

```

### خلاصهٔ نمادین

```text

هومِ هم‌ورد:

HomK(A , −) : K → Set

f : A → X

α : X → Y

f ↦ α ∘ f

```

```text

هومِ پَس‌ورد:

HomK(− , B) : Kᵒᵖ → Set

α : X → Y

β : Y → B

β ↦ β ∘ α

```

```text

لم یُونِدا:

Nat(HomK(A , −) , F) ≅ F(A)

```

```text

عنصر متناظر:

x = ηA(۱A)

```

```text

مؤلفهٔ تبدیل طبیعی:

ηX(f) = F(f)(x)

```

در این صفحات، هستهٔ بحث از **تابع‌گرهای هوم** به‌درستی به **تبدیل‌های طبیعی و لم یُونِدا** پیوند می‌خورد؛ بنابراین ادامهٔ منطقی آن، تعریف دقیق **ردهٔ تابع‌گرها** و سپس بیان **الحاق با استفاده از تناظرهای طبیعی میان مجموعه‌های هوم** است.