تابعگرهای کامل، وفادار و همارزی ردهها
۱. تابعگر کامل (Full Functor)
یک تابعگر F : K → L را کمل (Full) مینامیم هرگاه برای هر دو شیء A و B در ردهٔ K، نگاشتِ القایی روی مجموعههای ریخت:
Fₘ : Mor_K(A , B) → Mor_L(F(A) , F(B))
یک تابعِ پوشا (Surjective) باشد. به زبان ساده، هر ریخت در ردهٔ مقصد میان تصاویر A و B، حداقل از تصویرِ یک ریخت در ردهٔ مبدأ سرچشمه گرفته است.
۲. تابعگر وفادار (Faithful Functor)
تابعگر F : K → L را وفادار (Faithful) مینامیم هرگاه نگاشتِ روی ریختها:
Fₘ : Mor_K(A , B) → Mor_L(F(A) , F(B))
یک تابعِ یکبهیک (Injective) باشد. یعنی اگر دو ریخت در مبدأ تصاویر مساوی داشته باشند، خودِ آن دو ریخت نیز در مبدأ برابر بودهاند.
اگر تابعگری همزمان کامل و وفادار باشد، آن را کاملاً وفادار (Fully Faithful) مینامند؛ در این صورت نگاشت بین مجموعههای Hom یک دوسویی (Bijection) کامل است.
۳. همارزی ردهها و معادل بودن
در بخش دیگری از یادداشتها، شرایط همارزی دو رده با استفاده از دو تابعگر T : K → L و S : L → K بررسی شده است. دو رده را معادل (Equivalent) گویند هرگاه ترکیب تابعگرها به ریخت همانی (یا بهطور دقیقتر، به یکریختی طبیعی با تابعگر همانی) میل کند:
T ∘ S = id_L , S ∘ T = id_K
این روابط نشان میدهند که ساختار دو رده تا چه اندازه به یکدیگر شبیهاند؛ به گونهای که میتوان اشیاء و ریختها را بدون از دست رفتن اطلاعاتِ ساختاری، میان آنها رفتوآمد داد.
۴. همهستهها و پیوستگیها
در پایین یادداشتهای این صفحه، به ارتباطِ هسته و همهسته در ساختارهای جبری و حفظ آنها توسط تابعگرها اشاره شده است. اگر تابعگری ساختارهای حد و همحد (مانند هسته و همهسته) را حفظ کند، به آن تابعگر پیوسته (Continuous) یا همپیوسته گویند که پایهٔ اصلیِ جبر همولوژیک است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.