ریاضیات

جمع‌پذیری تابع‌گر Hom و تابع‌گرهای بازنمایی‌پذیر

۱. ساختار گروه آبلی در Hom

فرض کنید M و N دو مدول راست روی حلقهٔ R باشند. مجموعهٔ همریختی‌های R-خطی میان M و N را با نماد Homᵣ(M , N) نشان می‌دهیم. این مجموعه یک گروه آبلی است.

اگر β₁ و β₂ دو عضو Homᵣ(M , N) باشند، جمع آن‌ها به صورت نقطه‌ای تعریف می‌شود:

(β₁ + β₂)(m) = β₁(m) + β₂(m)

این رابطه برای هر m ∈ M برقرار است.

۲. سازگاری ترکیب با جمع

فرض کنید α : L → M، β₁ و β₂ : M → N و γ : N → P همریختی‌های R-خطی باشند. در این صورت ترکیب با جمع سازگار است:

γ ∘ (β₁ + β₂) ∘ α

=

γ ∘ β₁ ∘ α

+

γ ∘ β₂ ∘ α

برای اثبات، یک عضو دلخواه l ∈ L را در نظر می‌گیریم:

(γ ∘ (β₁ + β₂) ∘ α)(l)

=

γ((β₁ + β₂)(α(l)))

=

γ(β₁(α(l)) + β₂(α(l)))

=

γ(β₁(α(l))) + γ(β₂(α(l)))

=

(γ ∘ β₁ ∘ α)(l)

+

(γ ∘ β₂ ∘ α)(l)

پس ترکیب همریختی‌ها نسبت به جمع، دوجمعی یا توزیع‌پذیر است.

۳. تابع‌گر هم‌ورد بازنمایی‌پذیر

با ثابت گرفتن مدول A، تابع‌گر هم‌ورد زیر تعریف می‌شود:

hᴬ = Homᵣ(A , −)

این تابع‌گر هر مدول M را به گروه آبلی Homᵣ(A , M) می‌برد و هر همریختی α : M → N را به نگاشت زیر تبدیل می‌کند:

hᴬ(α) : Homᵣ(A , M) → Homᵣ(A , N)

برای هر β : A → M داریم:

hᴬ(α)(β) = α ∘ β

۴. تابع‌گر پَس‌ورد بازنمایی‌پذیر

با ثابت گرفتن مدول B، تابع‌گر پَس‌ورد زیر به دست می‌آید:

hᵦ = Homᵣ(− , B)

این تابع‌گر هر مدول M را به گروه آبلی Homᵣ(M , B) می‌برد. اگر α : M → N همریختی باشد، آنگاه نگاشت القایی آن چنین است:

hᵦ(α) : Homᵣ(N , B) → Homᵣ(M , B)

برای هر γ : N → B داریم:

hᵦ(α)(γ) = γ ∘ α

در این حالت، جهت همریختی‌ها معکوس می‌شود؛ بنابراین hᵦ یک تابع‌گر پَس‌ورد است.

۵. جمع‌بندی

در ردهٔ مدول‌ها، مجموعه‌های Hom دارای ساختار گروه آبلی هستند و ترکیب همریختی‌ها نسبت به جمع، توزیع‌پذیر است. دو تابع‌گر مهم hᴬ و hᵦ به ترتیب از ثابت گرفتن متغیر نخست و متغیر دوم تابع‌گر Hom ساخته می‌شوند:

hᴬ = Homᵣ(A , −)

hᵦ = Homᵣ(− , B)

تابع‌گر نخست هم‌ورد و تابع‌گر دوم پَس‌ورد است. این دو تابع‌گر اساس مطالعهٔ بازنمایی‌پذیری، لم یُونِدا و بسیاری از ساختارهای جبر همولوژیک را تشکیل می‌دهند.