ریاضیات

تحلیلِ تصویر سوم: تابع‌گر Hom در ردهٔ مدول‌ها و خواص جمعی آن

کج

این تصویر، ساختارِ جبریِ مجموعه‌های Hom را در ردهٔ مدول‌های راست روی حلقهٔ R (یعنی Mod-R) بررسی می‌کند و نشان می‌دهد که چگونه Hom در این رده، مقصدی در ردهٔ گروه‌های آبلی (Ab) پیدا می‌کند.

۱. ساختار گروه آبلی در Homᵣ

برای هر دو مدول M و N در ردهٔ Mod-R، مجموعهٔ همریختی‌های R-خطی میان آن‌ها با Homᵣ(M, N) نشان داده می‌شود. این مجموعه تنها یک مجموعهٔ ساده نیست، بلکه خود یک گروه آبلی است. جمعِ دو همریختیِ β₁ و β₂ به صورت نقطه‌ای تعریف می‌شود:

(β₁ + β₂)(m) = β₁(m) + β₂(m) , برای هر m ∈ M

این ساختارِ گروهی باعث می‌شود که تابع‌گر Hom در مدول‌ها به جای ردهٔ مجموعه‌ها (Set)، به ردهٔ گروه‌های آبلی (Ab) مقداردهی کند:

Homᵣ : Mod-Rᵒᵖ × Mod-R → Ab

۲. توزیع‌پذیری و خاصیتِ دوجمعی (Bilinearity)

در یادداشت‌های این صفحه، اثبات و رابطهٔ توزیع‌پذیریِ ترکیبِ ریخت‌ها روی جمعِ همریختی‌ها به دقت نوشته شده است. اگر α و γ ریخت‌های مناسب باشند، داریم:

Homᵣ(α , γ)(β₁ + β₂) = Homᵣ(α , γ)(β₁) + Homᵣ(α , γ)(β₂)

و در جزئیاتِ ترکیب (با در نظر گرفتن اعمال بر روی عضو a):

(γ ∘ (β₁ + β₂) ∘ α)(a)

= γ((β₁ + β₂)(α(a)))

= γ(β₁(α(a)) + β₂(α(a)))

= γ(β₁(α(a))) + γ(β₂(α(a)))

= (γ ∘ β₁ ∘ α)(a) + (γ ∘ β₂ ∘ α)(a)

این رابطه، خطی بودنِ (یا دوجمعی بودنِ) عملگرِ Hom را در ردهٔ مدول‌ها اثبات می‌کند.

۳. تعریف تابع‌گرهای جزء به جزء (h_B و h^A)

در بخش پایانی صفحه، به نمادگذاری‌های استانداردی برای تابع‌گرهای بازنمایی‌پذیر اشاره شده است:

الف) تابع‌گر هم‌ورد با ثابت‌کردن شیء A:

h^A = Hom(A , −)

ب) تابع‌گر پَس‌ورد با ثابت‌کردن شیء B:

h_B = Hom(− , B)

این نمادها خلاصه‌ای از ریخت‌های خارج‌شونده از A و واردشونده به B هستند که ابزار اصلی در جبر همولوژیک و نظریهٔ نمایش به شمار می‌روند.

جمع‌بندی

این صفحه از یادداشت‌ها، پل میان «رده‌های عمومی» و «رده‌های جبر مجرد (مانند مدول‌ها)» است. در اینجا می‌بینیم که چگونه ساختارِ جمعیِ مدول‌ها به فضای همریختی‌ها منتقل می‌شود و Hom را به یک تابع‌گرِ افزایشی (Additive Functor) تبدیل می‌کند.