ریاضیات

ایده ال در حلقه

فرض کنید A یک حلقه و I یک زیرگروه جمعی از A باشد. می‌خواهیم شرطی بیابیم که I، افزون بر بسته‌بودن نسبت به جمع و قرینهٔ جمعی، با ضربِ عناصر حلقه نیز سازگار باشد.

اگر x و y عضو I باشند، آنگاه:

x − y ∈ I

این شرط نشان می‌دهد که I نسبت به جمع و قرینهٔ جمعی بسته است.

ایدئال چپ

زیرگروه جمعی I از حلقهٔ A را ایدئال چپ می‌نامیم، هرگاه برای هر a در A و هر x در I داشته باشیم:

a x ∈ I

یعنی ضرب‌کردنِ هر عضوِ ایدئال از سمت چپ در هر عضوِ حلقه، باز هم عضوی از ایدئال به دست دهد.

ایدئال راست

زیرگروه جمعی I از حلقهٔ A را ایدئال راست می‌نامیم، هرگاه برای هر a در A و هر x در I داشته باشیم:

x a ∈ I

یعنی ضرب‌کردنِ عضوِ ایدئال از سمت راست در هر عضوِ حلقه، ما را از I بیرون نبرد.

ایدئال دوطرفه

اگر I هم ایدئال چپ و هم ایدئال راست باشد، آن را ایدئال دوطرفه یا به اختصار ایدئال می‌نامیم. پس برای هر a در A و هر x در I داریم:

a x ∈ I

x a ∈ I

در حلقه‌های جابجایی، این دو شرط تفاوتی ندارند؛ زیرا:

a x = x a

پس در یک حلقهٔ جابجایی، هر ایدئال چپ خودبه‌خود ایدئال راست نیز هست و برعکس.