ریاضیات

مثال کاربردیِ ترکیبی در واریته‌ها: تقاطعِ مماسیِ سهمی و خط

فرض کنید k میدانی جبری‌بسته باشد؛ مثلاً k = ℂ. در صفحهٔ آفین A²ₖ، سهمی و خطِ زیر را در نظر می‌گیریم:

X = V(y − x²)

Y = V(y)

واریتهٔ X سهمیِ y = x² است و واریتهٔ Y محورِ xها، یعنی خطِ y = ۰. مسئله این است که نقاطِ مشترکِ این دو واریته را بیابیم.

محاسبهٔ هندسیِ تقاطع

برای قرار گرفتن نقطه‌ای در X، باید داشته باشیم:

y = x²

و برای قرار گرفتن همان نقطه در Y، باید:

y = ۰

پس از ترکیبِ این دو شرط نتیجه می‌شود:

x² = ۰

بنابراین:

x = ۰ ، y = ۰

پس تقاطعِ مجموعه‌ایِ این دو واریته فقط یک نقطه است:

X ∩ Y = {(0,0)}

ترجمهٔ ایده‌آلی

ایده‌آل‌های تعریف‌کنندهٔ دو واریته چنین‌اند:

I(X) = (y − x²)

I(Y) = (y)

برای یافتن تقاطع، این دو ایده‌آل را با هم جمع می‌کنیم:

I(X) + I(Y) = (y − x² ، y)

از وجودِ y در این ایده‌آل و رابطهٔ y − x²، نتیجه می‌گیریم که x² نیز در ایده‌آل قرار دارد. پس:

I(X) + I(Y) = (y ، x²)

اما ایده‌آلِ رادیکالِ این تقاطع برابر است با:

√(y ، x²) = (x ، y)

از این رو:

I(X ∩ Y) = (x ، y)

نکتهٔ مهم: تفاوتِ تقاطعِ معمولی و تقاطعِ مماسی

سهمی و خط تنها در نقطهٔ (۰،۰) به هم می‌رسند، اما خطِ y = ۰ از سهمی عبور نمی‌کند؛ بلکه در همان نقطه به سهمی مماس است. نشانهٔ جبریِ این تماسِ مماسی، ظهورِ توانِ دومِ x در ایده‌آلِ (y ، x²) است.

اگر فقط مجموعهٔ نقاط را در نظر بگیریم، یک نقطه داریم و ایده‌آلِ آن (x ، y) است. اما اگر ساختارِ جبریِ تقاطع را نیز حفظ کنیم، ایده‌آلِ (y ، x²) اطلاعات بیشتری دارد: این ایده‌آل نشان می‌دهد که نقطهٔ (۰،۰) با چندگانگیِ ۲ ظاهر شده است.

نتیجهٔ کاربردی

V(y − x²) ∩ V(y) = V(y ، x²) = {(0,0)}

این مثال نشان می‌دهد که دو واریته ممکن است از نظر مجموعه‌ای تنها در یک نقطه مشترک باشند، ولی از دیدِ جبری و هندسی، آن نقطه دارای تماس و چندگانگیِ بیشتری باشد. رادیکال، مکانِ هندسیِ نقطه را نشان می‌دهد؛ و توان‌ها، شدتِ تماسِ واریته‌ها را آشکار می‌کنند.