ریاضیات

مثالِ کاربردیِ ترکیبیِ دیگر: تقاطعِ عرضی و ناپدیدشدنِ Tor

در مثالِ پیشین، دیدیم که اگر دو مدول در یک جهتِ نیل‌پوتنت یا هم‌پوشان با هم برخورد کنند،

گروهِ Tor₁ می‌تواند ناصفر شود.

اکنون مثالی می‌آوریم که در آن تانسور، محلِ برخورد را نشان می‌دهد؛

اما تورِ درجۀ یک صفر است. این همان تصویرِ جبریِ «تقاطعِ عرضی» است.

حلقه را چنین بگیرید:

A = k[x,y]

که در آن k یک میدان است.

دو مدول زیر را در نظر می‌گیریم:

M = A/(x)

N = A/(y)

مدولِ M متناظر با محورِ y است؛

زیرا در آن شرطِ x = 0 برقرار می‌شود.

مدولِ N نیز متناظر با محورِ x است؛

زیرا در آن شرطِ y = 0 برقرار می‌شود.

این دو محور فقط در مبدأ با هم تلاقی می‌کنند:

(0,0)

۱. تفکیک آزادِ M

برای M = A/(x) دنبالۀ دقیق کوتاه زیر را داریم:

0 → A --×x→ A → A/(x) → 0

چون A = k[x,y] یک دامنۀ صحیح است،

ضرب در x تزریقی است. پس این دنباله یک تفکیک آزادِ طولِ یک برای

M است.

۲. تانسور کردن با N

اکنون با مدولِ N = A/(y) تانسور می‌کنیم.

چون:

A ⊗_A A/(y) ≅ A/(y)

مختلطِ حاصل چنین است:

0 → A/(y) --×x→ A/(y)

→ A/(x) ⊗_A A/(y) → 0

اما:

A/(y) ≅ k[x]

و نگاشتِ ضرب در x روی k[x] چنین است:

f(x) ↦ x f(x)

از آن‌جا که k[x] دامنۀ صحیح است، ضرب در

x تزریقی است. بنابراین:

ker(×x : A/(y) → A/(y)) = 0

۳. محاسبۀ Tor₁

طبق تعریفِ همولوژیکِ تور:

Tor₁^A(A/(x), A/(y))

=

ker(×x : A/(y) → A/(y))

و چون این هسته صفر است:

Tor₁^A(A/(x), A/(y)) = 0

پس تانسور کردن با A/(y)، تزریقی‌بودنِ ضرب در

x را از میان نبرده است.

۴. محاسبۀ ضرب تانسوری

از فرمولِ پایه استفاده می‌کنیم:

(A/I) ⊗_A (A/J) ≅ A/(I + J)

در این مثال:

I = (x)

J = (y)

پس:

A/(x) ⊗_A A/(y)

≅

A/(x,y)

اما خارج‌قسمتِ k[x,y] بر ایدئالِ

(x,y) همان میدانِ k است:

A/(x,y) ≅ k

پس:

A/(x) ⊗_A A/(y) ≅ k

۵. دنبالۀ دقیقِ حاصل

اکنون دنبالۀ کاملِ تانسورشده چنین است:

0 → A/(y) --×x→ A/(y) → k → 0

یا با جای‌گذاریِ A/(y) ≅ k[x]:

0 → k[x] --×x→ k[x] → k → 0

نگاشتِ پایانی، مقداردهی در x = 0 است:

f(x) ↦ f(0)

هستۀ این مقداردهی، ایدئالِ (x) است؛

و تصویرِ ضرب در x نیز همان ایدئالِ (x) است.

پس دنباله دقیق می‌ماند.

۶. تفسیر هندسی

دو زیرمجموعۀ جبری زیر را در صفحۀ آفین در نظر بگیرید:

V(x)

V(y)

اولی محورِ y و دومی محورِ x است.

این دو محور در مبدأ تلاقی دارند، اما هیچ‌یک در امتدادِ دیگری ضخیم نشده است و

جهتِ مشترک ندارند.

حاصلِ تانسور:

A/(x) ⊗_A A/(y) ≅ k

می‌گوید محلِ تلاقی، یک نقطه است.

از سوی دیگر:

Tor₁^A(A/(x), A/(y)) = 0

می‌گوید این تلاقی فاقدِ لایۀ همولوژیکِ اضافی است؛

یعنی تقاطع، در معنای جبری، رفتاری عرضی و پاک دارد.

۷. مقایسه با تقاطعِ ناعرضی

برای فهمِ اهمیتِ جوابِ صفر، مدولِ دوم را تغییر می‌دهیم:

N' = A/(x)

اکنون هر دو مدول روی همان محورِ y قرار دارند.

پس از تانسور کردنِ تفکیکِ آزادِ A/(x) با

A/(x)، نگاشتِ ضرب در x به نگاشتِ صفر تبدیل می‌شود:

A/(x) --×x→ A/(x)

u ↦ xu = 0

پس هسته، تمامِ مدول است و به دست می‌آوریم:

Tor₁^A(A/(x), A/(x))

≅

A/(x)

بنابراین:

• برای دو محورِ متفاوت:

  Tor₁^A(A/(x),A/(y)) = 0.

• برای برخوردِ یک محور با خودش:

  Tor₁^A(A/(x),A/(x)) ≅ A/(x).

جمع‌بندی

• تانسورِ A/(x) و A/(y)،

  حلقۀ مختصاتِ نقطۀ تلاقی را می‌دهد:

  k.

• صفر بودنِ Tor₁ نشان می‌دهد که تلاقیِ دو محور،

  فاقدِ پیچشِ همولوژیکِ اضافی است.

• هنگامی که دو مدول در یک جهت بر هم می‌افتند، مانند

  A/(x) و A/(x)،

  تور ناصفر می‌شود.

• پس تانسور، «خودِ محلِ برخورد» را می‌بیند؛

  و تور، «کیفیت و عمقِ همولوژیکِ برخورد» را آشکار می‌کند.

تانسور، نقطۀ دیدار را می‌شمارد؛

تور، می‌پرسد این دیدار در روشنی رخ داده است یا در سایۀ یک هم‌پوشانیِ پنهان.