مثالِ کاربردیِ ترکیبیِ ضرب تانسوری و Tor
در این مثال، چهار مفهوم را یکجا میبینیم:
- دنبالۀ دقیق کوتاه؛
- ضرب تانسوری؛
- شکستِ دقیقبودن از چپ؛
- گروه همولوژیکِ Tor1.
روی حلقۀ اعداد صحیح کار میکنیم؛ یعنی:
A = Z
دنبالۀ دقیق کوتاهِ زیر را در نظر بگیرید:
0 → Z --×6→ Z → Z/6Z → 0
نگاشت نخست، ضرب در 6 است. چون اگر:
6x = 0
در گروه Z باشد، ناگزیر x = 0 است،
پس این نگاشت تزریقی است. خارجقسمتِ آن نیز برابر Z/6Z است؛
پس دنباله دقیق است.
تانسور کردن با Z/15Z
اکنون مدول زیر را اختیار میکنیم:
N = Z/15Z
و تمام دنبالۀ دقیق کوتاه را با Z/15Z تانسور میکنیم.
از آنجا که:
Z ⊗Z Z/15Z ≅ Z/15Z
به مختلط زیر میرسیم:
0 → Z/15Z --×6→ Z/15Z
→ (Z/6Z) ⊗Z (Z/15Z) → 0
نگاشتِ میانی اکنون چنین عمل میکند:
[x]15 ↦ [6x]15
در دنبالهٔ نخست، ضرب در 6 تزریقی بود؛ اما پس از تانسور گرفتن، دیگر تزریقی نیست.
برای دیدنِ علت، هسته را محاسبه میکنیم.
محاسبۀ هسته
باید حل کنیم:
6x ≡ 0 (mod 15)
از آنجا که:
gcd(6,15) = 3
جوابها در Z/15Z عبارتاند از:
[0] ، [5] ، [10]
زیرا:
6×5 = 30 ≡ 0 (mod 15)
و نیز:
6×10 = 60 ≡ 0 (mod 15)
پس:
ker(×6 : Z/15Z → Z/15Z)
= { [0], [5], [10] }
این هسته گروهی دوری با سه عضو است؛ بنابراین:
ker(×6) ≅ Z/3Z
ظهور Tor1
تفکیک آزادِ Z/6Z همان دنبالۀ زیر است:
0 → Z --×6→ Z → Z/6Z → 0
پس طبق تعریف همولوژیکِ تور:
Tor1Z(Z/6Z, Z/15Z)
= ker(×6 : Z/15Z → Z/15Z)
و از محاسبۀ بالا نتیجه میشود:
Tor1Z(Z/6Z, Z/15Z) ≅ Z/3Z
این جواب میگوید پس از تانسور با Z/15Z،
سه کلاسِ ناصفر در هسته پدید آمدهاند؛ یعنی بخشی از تزریقیبودنِ دنبالۀ آغازین از میان رفته است.
گروه Tor1 دقیقاً همین شکست را ثبت میکند.
محاسبۀ خودِ ضرب تانسوری
اکنون درجۀ صفر را حساب میکنیم. داریم:
Tor0Z(Z/6Z, Z/15Z)
= (Z/6Z) ⊗Z (Z/15Z)
برای گروههای دوری، فرمول زیر برقرار است:
(Z/mZ) ⊗Z (Z/nZ)
≅ Z/gcd(m,n)Z
پس:
(Z/6Z) ⊗Z (Z/15Z)
≅ Z/gcd(6,15)Z
≅ Z/3Z
در نتیجه، در این مثال داریم:
Tor0Z(Z/6Z, Z/15Z) ≅ Z/3Z
Tor1Z(Z/6Z, Z/15Z) ≅ Z/3Z
این همشکلیِ دو جواب، ویژۀ این مثال است و نباید آن را یک قاعدۀ عمومی دانست.
دنبالۀ دقیق بلندِ Tor در این مثال
دنبالۀ دقیق بلندِ تور، در اینجا به صورت زیر درمیآید:
0 → Tor1Z(Z/6Z, Z/15Z)
→ Z/15Z --×6→ Z/15Z
→ (Z/6Z) ⊗Z (Z/15Z) → 0
با جایگذاریِ جوابها:
0 → Z/3Z
→ Z/15Z --×6→ Z/15Z
→ Z/3Z → 0
تصویرِ ضرب در 6 عبارت است از:
im(×6) = { [0], [3], [6], [9], [12] }
این زیرگروه پنج عضو دارد. بنابراین خارجقسمتِ آن سه عضو خواهد داشت:
(Z/15Z) / im(×6) ≅ Z/3Z
و این خارجقسمت، همان ضرب تانسوریِ درجۀ صفر است.
مقایسه با یک مدول تخت
اکنون به جای Z/15Z، گروه Q را در نظر بگیرید:
0 → Z --×6→ Z → Z/6Z → 0
با تانسور کردن با Q، داریم:
0 → Q --×6→ Q → (Z/6Z) ⊗Z Q → 0
ضرب در 6 روی Q یک همریختی است؛ زیرا هر عدد گویا بر 6 بخشپذیر است.
پس هسته و خارجقسمت هر دو صفرند:
Tor1Z(Z/6Z, Q) = 0
(Z/6Z) ⊗Z Q = 0
علت این است که Q به عنوان یک Z-مدول، تخت است.
مدول تخت هنگام تانسور گرفتن، تزریقیبودن را از میان نمیبرد.
جمعبندی
دنبالهٔ 0 → Z --×6→ Z → Z/6Z → 0 دقیق است.
با تانسور کردن با Z/15Z، نگاشت ضرب در 6 دیگر تزریقی نیست.
هستهٔ تازه برابر Z/3Z است.
این هسته همان Tor1Z(Z/6Z, Z/15Z) است.
اگر عامل دوم تخت باشد، مانند Q، گروه تورِ درجۀ یک ناپدید میشود.
تور، نشانۀ آن لحظهای است که تانسور، بخشی از پیوندِ تزریقی را میگسلد؛
و همولوژی، نام و اندازۀ آن گسست را به دست میدهد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.