دو مدول، دو رودِ جدا؛
توازن، بسترِ دیدارشان؛
و تانسور، دریایی که هر نقشِ دوسطری
در آن به یک موجِ خطی بدل میشود.
خاصیتِ جهانیِ ضربِ تانسوری، با مثالهای متعدد
۱. مسئلۀ اصلی: چگونه یک نگاشتِ دومتغیره را خطی کنیم؟
فرض کنید A یک حلقه باشد،
MA یک مدولِ راست و
AN یک مدولِ چپ باشد.
میخواهیم نگاشتی دومتغیره از
M�N به یک گروهِ آبلی یا مدولِ مناسبِ P
را بررسی کنیم.
اما هر نگاشتِ دومتغیرهای برای تانسور مناسب نیست. نگاشتِ مطلوب باید هم در هر متغیر
جمعپذیر باشد و هم کنشِ حلقه را میان دو عامل جابهجا کند.
به چنین نگاشتی نگاشتِ متوازن میگوییم.
۲. تعریفِ نگاشتِ متوازن
نگاشت
b:M�N→P
را A-متوازن مینامیم، هرگاه برای هر
m,m′∈M، هر n,n′∈N و هر
a∈A داشته باشیم:
b(m m′,n)=b(m,n) b(m′,n),
b(m,n n′)=b(m,n) b(m,n′),
b(ma,n)=b(m,an).
رابطۀ آخر، قلبِ مفهومِ توازن است. یعنی عملِ a را میتوان از عاملِ چپ
به عاملِ راست منتقل کرد، بیآنکه مقدارِ نگاشت تغییر کند.
در حالتِ جابجاییپذیر.
اگر A جابجاییپذیر باشد و هر دو عامل، مدولِ چپ باشند، معمولاً مینویسیم:
b(am,n)=b(m,an).
زیرا با جابجاییپذیری میتوان یکی از مدولها را بهطور طبیعی مدولِ راست نیز دید.
۳. بیانِ دقیقِ خاصیتِ جهانی
ضربِ تانسوریِ M⊗AN همراه با نگاشتِ متوازنِ کانونی
τ : M�N → M⊗AN,
(m,n) ↦ m⊗n
به گونهای تعریف میشود که برای هر نگاشتِ متوازن
b:M�N→P، دقیقاً یک نگاشتِ گروهی ــ و در وضعیتِ مناسب،
یک همریختیِ مدولی ــ وجود داشته باشد:
φ : M⊗AN → P
که نمودار زیر را جابجاییپذیر میکند:
M � N ──τ──→ M⊗AN
\ ↘ φ
↘ b P
b = φ ○ τ.
به زبان عناصر، این یعنی:
φ(m⊗n)=b(m,n).
پس تانسور، عمومیترین مقصد برای نگاشتهای متوازن است:
هر نگاشتِ متوازن از M�N ناگزیر و بهطور یکتا از تانسور عبور میکند.
۴. چرا �یکتایی� اهمیت دارد؟
عناصرِ سادهٔ m⊗n مولدِ
M⊗AN هستند؛ هر عنصرِ تانسوری را میتوان به شکلِ یک جمعِ متناهی نوشت:
x = Σi=1r mi⊗ni.
بنابراین اگر φ وجود داشته باشد، مقدارش بر تمام عناصر اجباراً تعیین شده است:
φ(x)=Σi=1rb(mi,ni).
دشواری فقط این است که یک عنصرِ تانسوری میتواند نمایشهای گوناگون داشته باشد.
متوازن بودنِ b تضمین میکند که مقدارِ بالا به انتخابِ نمایش وابسته نیست.
از اینرو نگاشتِ القاشده خوشتعریف است.
۵. ساختِ صریحِ تانسور
برای دیدنِ خاستگاهِ روابط، گروهِ آزادِ آبلی را بر مجموعهٔ
M�N میسازیم:
F = ℤ[M�N].
سپس زیرگروهی را که مولدِ روابطِ جمعپذیری و توازن است خارج میکنیم:
[m m′,n] − [m,n] − [m′,n],
[m,n n′] − [m,n] − [m,n′],
[ma,n] − [m,an].
خارجقسمتِ حاصل، همان ضربِ تانسوری است:
M⊗AN = F / R.
ازاینرو روابطِ مشهورِ تانسور:
(m m′)⊗n = m⊗n m′⊗n,
m⊗(n n′) = m⊗n m⊗n′,
(ma)⊗n = m⊗(an),
نه قراردادهای دلبخواهی، بلکه دقیقاً روابطی هستند که تمام نگاشتهای متوازن باید رعایت کنند.
۶. مثال اول: ضربِ معمولیِ اعداد صحیح
نگاشتِ ضرب را در نظر بگیرید:
b : ℤ�ℤ → ℤ,
b(r,s)=rs.
این نگاشت متوازن است؛ زیرا:
b(ra,s)=(ra)s=r(as)=b(r,as).
پس خاصیت جهانی دقیقاً یک نگاشتِ یکتا میدهد:
φ : ℤ⊗ℤℤ → ℤ,
φ(r⊗s)=rs.
در واقع این نگاشت همریختی است و:
ℤ⊗ℤℤ ≅ ℤ.
برای نمونه:
6⊗10 = (6�10)⊗1 = 60⊗1,
φ(6⊗10)=60.
۷. مثال دوم: تانسورِ دو گروهِ دوری
میخواهیم حاصل را محاسبه کنیم:
ℤ/6ℤ ⊗ℤ ℤ/15ℤ.
هر عنصرِ تانسور بهوسیلۀ
\bar 1⊗\bar 1
تولید میشود؛ زیرا:
\bar a⊗\bar b = ab(\bar 1⊗\bar 1).
اکنون از رابطۀ توازن داریم:
6(\bar 1⊗\bar 1)
=
\overline{6}⊗\bar 1
=
0,
15(\bar 1⊗\bar 1)
=
\bar 1⊗\overline{15}
=
0.
پس مولدِ موردنظر هم با 6 و هم با 15 نابود میشود؛
بنابراین مرتبهاش مقسومٌعلیه
gcd(6,15)=3 است. در واقع:
ℤ/6ℤ ⊗ℤ ℤ/15ℤ ≅ ℤ/3ℤ.
خاصیت جهانی اینجا میگوید هر نگاشتِ متوازن از
ℤ/6ℤ�ℤ/15ℤ
به هر گروه آبلی P، بهطور یکتا از گروهِ
ℤ/3ℤ عبور میکند.
۸. مثال سوم: تانسور با خارجقسمت
برای هر A-مدولِ N و هر ایدئالِ
I⊆A، یک همریختی بنیادی داریم:
(A/I)⊗AN ≅ N/IN.
این حکم از خاصیت جهانی سرچشمه میگیرد. نگاشتِ زیر را تعریف کنید:
b : (A/I)�N → N/IN,
b(\bar a,n)=an IN.
نخست باید خوشتعریف بودن را بررسی کنیم. اگر
\bar a=\bar a′، آنگاه
a-a′∈I؛ لذا:
an-a′n=(a-a′)n ∈ IN.
پس an IN=a′n IN. همچنین:
b(\bar a c,n)=acn=b(\bar a,cn),
پس b متوازن است و نگاشتِ یکتایی القا میکند:
Φ:(A/I)⊗AN → N/IN,
\bar a⊗n ↦ an IN.
وارونِ آن نیز روشن است:
n IN ↦ \bar 1⊗n.
بنابراین تانسور با A/I، همان �کشتنِ عملِ عناصرِ
I� بر روی N است.
نمونۀ عددی
با انتخابِ A=ℤ، I=(6) و
N=ℤ/15ℤ داریم:
(ℤ/6ℤ)⊗ℤ(ℤ/15ℤ)
≅
(ℤ/15ℤ) / 6(ℤ/15ℤ).
از آنجا که
6(ℤ/15ℤ)={0,3,6,9,12},
خارجقسمت سه عضو دارد و دوباره به جوابِ پیشین میرسیم:
(ℤ/15ℤ)/6(ℤ/15ℤ) ≅ ℤ/3ℤ.
۹. مثال چهارم: ضرب در جبرهای جابجاییپذیر
اگر A یک جبرِ جابجاییپذیر و B یک
A-جبر باشد، ضربِ عناصر در B نگاشتِ زیر را میسازد:
μ : B�B → B,
(x,y) ↦ xy.
این نگاشت A-متوازن است، زیرا برای a∈A:
μ(ax,y)=(ax)y=a(xy)=x(ay)=μ(x,ay).
پس یک نگاشتِ A-خطیِ یکتا پدید میآید:
μ̃ : B⊗AB → B,
x⊗y ↦ xy.
این نگاشت در هندسۀ جبری معنایی ژرف دارد. اگر
X=Spec(B) و S=Spec(A) باشند، آنگاه:
X�SX = Spec(B⊗AB).
و نگاشتِ ضربِ
B⊗AB→B
در جهتِ هندسی، همان مورفیسمِ قطریِ
X→X�SX
را بازتاب میدهد. پس خاصیت جهانیِ تانسور، در پسِ ساختِ ضربِ فیبری نیز حضور دارد.
۱۰. مثال پنجم: فضای برداری و نگاشتهای دوخطی
بگذارید k میدان و V,W,U فضاهای برداری روی
k باشند. در این صورت، خاصیت جهانی میگوید:
Homk(V⊗kW,U)
≅
Bilk(V�W,U).
یعنی نگاشتهای خطی از تانسور به U، دقیقاً همان نگاشتهای
دُوخطی از V�W به U هستند.
مثلاً اگر V=W=k� و
U=k باشد، ضربِ داخلیِ استاندارد:
b((x1,x2),(y1,y2))
=
x1y1 x2y2
دوخطی است؛ پس دقیقاً یک تابعِ خطیِ یکتا دارد:
φ:k�⊗kk� → k,
φ(v⊗w)=v�w.
اگر e1,e2 پایهٔ استاندارد باشند:
φ(ei⊗ej)=δij.
۱۱. مثال ششم: ضربِ خارجی و جبرِ خارجقسمتی
فرض کنید V یک فضای برداری روی میدان k باشد.
نگاشتِ زیر:
b:V�V → Λ�V,
(v,w) ↦ v∧w
دوخطی است؛ بنابراین خاصیت جهانیِ تانسور، نگاشتِ خطیِ یکتایی میدهد:
π:V⊗kV → Λ�V,
v⊗w ↦ v∧w.
تفاوتِ تانسور و ضربِ خارجی اکنون آشکار میشود:
V⊗V فضای عمومیِ نگاشتهای دوخطی را در بر میگیرد؛
اما با خارج کردنِ روابطِ اضافیِ
v⊗v=0,
v⊗w w⊗v=0,
به Λ�V میرسیم؛ فضایی که نگاشتهای پادمتقارنِ دوخطی را نمایندگی میکند.
۱۲. مثال هفتم: تانسور با یک مدولِ آزاد
اگر Ar مدولِ آزادِ رتبهٔ r باشد،
آنگاه:
M⊗AAr ≅ Mr.
اگر e1,…,er پایۀ استانداردِ
Ar باشد، همریختی به شکلِ زیر است:
m⊗(a1e1 ��� arer)
↦
(ma1,…,mar).
این نگاشت از آنرو خوشتعریف است که رابطۀ توازن اجازه میدهد ضریبهای
ai را از عامل آزاد به عاملِ M منتقل کنیم:
m⊗(aiei)=(mai)⊗ei.
مثلاً:
ℤ/6ℤ ⊗ℤ ℤ�
≅
(ℤ/6ℤ)�.
۱۳. رابطۀ خاصیت جهانی با تانسور و Tor
خاصیت جهانی، معنای درستِ تانسورِ معمولی را تعیین میکند؛ اما در تانسور گرفتن،
دقیقبودن از چپ ممکن است از دست برود. برای همین، در محاسبۀ همولوژیک، یکی از عوامل را
با تفکیکِ پروژکتیو یا تخت جایگزین میکنیم:
M ⊗LA N.
سپس همولوژیِ درجاتِ مثبتِ این تانسورِ مشتقشده را میگیریم:
ToriA(M,N)
=
Hi(M⊗LAN).
پس خاصیت جهانی، بنیادِ �ساختنِ تانسور� است؛ و Tor همولوژیِ
همان ساختار است، آنگاه که تانسورِ معمولی در حفظِ تمامِ دقیقبودنها ناتوان میشود.
خلاصۀ فشرده.
M⊗AN نمایندۀ نگاشتهای A-متوازن از M�N است.
هر نگاشتِ متوازن b دقیقاً به یک نگاشتِ خطی
φ از تانسور تنزل مییابد: φ(m⊗n)=b(m,n).
روابطِ جمعپذیری و توازن در تانسور، دقیقاً برای تضمینِ این تنزل وضع شدهاند.
ضربِ اعداد، ضربِ جبرها، ضربِ داخلی، خارجقسمتها و ضربِ خارجی، همگی نمونههایی از کارکردِ این خاصیتاند.
تانسور، خانۀ همۀ نقشهای متوازن است؛
هر نقش که از دو سو به عدالت برخیزد،
در آن خانه یک نامِ خطی مییابد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.