گره چو در دو رشته افتد، تانسور صورتِ گره را مینماید؛
تور، نهانخانۀ آن را میگشاید:
کدام پیوند ماند، کدام پیوند گسست،
و کجا دقیقبودن به زبانِ همولوژی سخن گفت.
مثالِ کاربردیِ ترکیبی برای Tor:
تانسور، دنبالهٔ دقیقِ بلند، تختی و محاسبۀ صریح
روی حلقۀ A=\mathbb Z کار میکنیم و دنبالۀ دقیق کوتاهِ بنیادی را در نظر میگیریم:
0 → ℤ ──6→ ℤ → ℤ/6ℤ → 0.
اکنون این دنباله را با مدول
N=\mathbb Z/15\mathbb Z
تانسور میکنیم. این انتخاب عمدی است: عددهای 6 و 15
مقسومعلیهِ مشترکِ نابدیهی دارند:
gcd(6,15)=3.
بنابراین انتظار داریم یک پدیدۀ پیچشیِ ناصفر، یعنی یک
Tor1 ناصفر، ظاهر شود.
۱. تانسور کردنِ دنباله
با توجه به همریختیهای طبیعی
ℤ⊗ℤℤ/15ℤ ≅ ℤ/15ℤ,
تانسور کردنِ دنباله، مختلط زیر را پدید میآورد:
0 → ℤ/15ℤ ──6→ ℤ/15ℤ
→ (ℤ/6ℤ)⊗ℤ(ℤ/15ℤ) → 0.
نگاشتِ میانی ضرب در 6 است:
[x]15 ↦ [6x]15.
۲. محاسبۀ هسته: پیدایشِ Tor1
برای یافتنِ هسته، باید حل کنیم:
6x ≡ 0 (mod 15).
چون
gcd(6,15)=3،
این شرط معادل است با:
x ≡ 0 (mod 5).
پس عناصرِ هسته عبارتاند از:
ker(×6) = { [0], [5], [10] } ⊂ ℤ/15ℤ.
این زیرگروه سه عضو دارد و دوری است؛ بنابراین:
Tor1ℤ(ℤ/6ℤ,ℤ/15ℤ)
≅
ker(×6 : ℤ/15ℤ → ℤ/15ℤ)
≅
ℤ/3ℤ.
یعنی سه کلاسِ همولوژیک در درجۀ یک داریم. این سه عنصر، همان بخشی از اطلاعاتاند
که تانسور در گذر از تزریقِ اولیه از دست داده است.
۳. محاسبۀ درجۀ صفر: خودِ ضربِ تانسوری
از طرف دیگر، Tor0 همان تانسور معمولی است:
Tor0ℤ(ℤ/6ℤ,ℤ/15ℤ)
=
ℤ/6ℤ⊗ℤℤ/15ℤ.
از فرمولِ شناختهشده برای گروههای دوری داریم:
ℤ/6ℤ⊗ℤℤ/15ℤ
≅
ℤ/gcd(6,15)ℤ
≅
ℤ/3ℤ.
بنابراین در این مثالِ خاص:
Tor0ℤ(ℤ/6ℤ,ℤ/15ℤ)
≅ ℤ/3ℤ,
Tor1ℤ(ℤ/6ℤ,ℤ/15ℤ)
≅ ℤ/3ℤ.
برابریِ دو جواب در این مثال، یک قانونِ عمومی نیست؛ این فقط نتیجۀ ویژهٔ تانسور کردنِ
دو گروهِ دوریِ متناهی بر روی ℤ است.
۴. دنبالهٔ دقیق بلند در عمل
دنبالهٔ دقیق بلندِ تور برای دنبالهٔ نخستین، در بخش موردنیاز، چنین است:
0 → Tor1ℤ(ℤ/6ℤ,ℤ/15ℤ)
→ ℤ/15ℤ ──6→ ℤ/15ℤ
→ ℤ/6ℤ⊗ℤℤ/15ℤ → 0.
با جایگذاریِ محاسبات، این دنباله به صورت زیر خوانده میشود:
0 → ℤ/3ℤ
→ ℤ/15ℤ ──6→ ℤ/15ℤ
→ ℤ/3ℤ → 0.
حال سه موضعِ دقیقبودن را جداگانه میبینیم:
در موضعِ نخست:
ℤ/3ℤ
به زیرگروه
{0,5,10}
از ℤ/15ℤ میرود؛ همان هستهٔ ضرب در 6.
در موضعِ میانی:
تصویرِ ضرب در 6 برابر است با:
im(×6) = { [0],[3],[6],[9],[12] }.
این زیرگروه پنج عضو دارد.
در موضعِ پایانی:
خارجقسمتِ ℤ/15ℤ بر این تصویر، سه عضو دارد:
(ℤ/15ℤ)/im(×6) ≅ ℤ/3ℤ.
و همان تانسورِ
ℤ/6ℤ⊗ℤℤ/15ℤ
است.
۵. مقایسه با یک مدولِ تخت: چرا تور ناپدید میشود؟
اکنون بهجای ℤ/15ℤ، مدولِ \mathbb Q را قرار دهید.
چون \mathbb Q بهعنوانِ \mathbb Z-مدول تخت است،
تانسور با آن باید تزریقیبودنِ ضرب در 6 را حفظ کند:
0 → ℚ ──6→ ℚ → (ℤ/6ℤ)⊗ℤℚ → 0.
ضرب در 6 روی \mathbb Q یک همریختی است؛
پس هسته صفر است و نیز خارجقسمت صفر:
Tor1ℤ(ℤ/6ℤ,ℚ)=0,
ℤ/6ℤ⊗ℤℚ=0.
این قیاس، معیارِ تختی را بهصورت عینی مینمایاند:
ℤ/15ℤ دارای عناصرِ پیچشی است؛
بنابراین تانسور با آن میتواند تزریقها را بشکند و
Tor1 ناصفر بسازد.
اما ℚ تخت است؛ ازاینرو چنین شکستی رخ نمیدهد و
Tor1 ناپدید میشود.
۶. تفسیرِ مشتقشده و تقارن
تفکیکِ پروژکتیوِ ℤ/6ℤ طولِ یک دارد:
P• : 0 → ℤ ──6→ ℤ → 0.
بنابراین:
ℤ/6ℤ ⊗Lℤ ℤ/15ℤ
≃
[ ℤ/15ℤ ──6→ ℤ/15ℤ ].
همولوژیِ درجۀ صفرِ این مختلط، ℤ/3ℤ و همولوژی درجۀ یکِ آن نیز
ℤ/3ℤ است. افزون بر این، چون حلقۀ پایه جابجاییپذیر است:
Tor1ℤ(ℤ/6ℤ,ℤ/15ℤ)
≅
Tor1ℤ(ℤ/15ℤ,ℤ/6ℤ)
≅
ℤ/3ℤ.
۷. حاصلِ این مثال
| مفهوم | تجلّی در مثال |
|---|---|
| تفکیکِ آزاد | 0→ℤ ──6→ ℤ→ℤ/6ℤ→0 |
| عدمِ دقیقبودن از چپ | نگاشتِ ضرب در 6 روی ℤ/15ℤ هستهٔ ناصفر دارد. |
| Tor1 | ℤ/3ℤ؛ ثبتکنندۀ دقیقِ این هسته. |
| تانسورِ معمولی | ℤ/6ℤ⊗ℤ/15ℤ≅ℤ/3ℤ. |
| تختی | با جایگزینیِ ℚ بهجای ℤ/15ℤ، تورِ درجۀ یک صفر میشود. |
پس تور، عددی در حاشیۀ محاسبه نیست: شاهدِ همولوژیکِ آن لحظهای است که
«ضرب» دیگر توانِ حفظِ پیوند را ندارد؛ و تختی، نامِ آن ساحتی است که این پیوند در آن بیگسست میماند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.