تانسور چو آینهست، ولی آینه گاه میشکند؛
تور، نامِ آن شکستگیست که در درجۀ پنهان مینشیند.
آنجا که دقیقبودن از چپ فرو ریزد،
همولوژی سر برمیآورد و گره را نام مینهد.
تفسیرِ همولوژیکِ Tor
تابعگرِ تانسوری
-⊗AN
برای یک A-مدولِ ثابتِ N،
دقیق از راست است، ولی ضرورتاً دقیق از چپ نیست.
گروههای Tor دقیقاً ابزارِ اندازهگیریِ همین نقصاناند:
آنها میگویند پس از تانسور گرفتن، چه مقدار از تزریقیبودنِ نخستین از دست رفته است.
۱. تعریف بهوسیلۀ تفکیکِ پروژکتیو
تفکیکِ پروژکتیوی از M اختیار کنید:
··· → P2 → P1 → P0 → M → 0.
سپس تمامِ مختلط را با N تانسور میکنیم:
··· → P2⊗AN → P1⊗AN
→ P0⊗AN → 0.
چون تانسور تنها از راست دقیق است، این مختلطِ جدید ممکن است در درجاتِ مثبت همولوژیِ ناصفر داشته باشد.
تعریف میکنیم:
ToriA(M,N)
:=
Hi(P•⊗AN),
i ≥ 0.
در درجۀ صفر، همولوژی همان تانسورِ معمولی است:
Tor0A(M,N) ≅ M⊗AN.
و برای i>0، گروههای تور «همولوژیهای خطا»ی تانسورند.
۲. درجۀ اول: جایگاهِ شکستِ تزریقیبودن
فرض کنید یک ارائه از M داشته باشیم:
0 → K → P → M → 0,
که در آن P پروژکتیو است. پس از تانسور با N،
دنبالهای راستدقیق پدید میآید:
K⊗AN → P⊗AN → M⊗AN → 0.
ممکن است نگاشتِ نخست تزریقی نباشد. هستهٔ آن، همان تورِ درجۀ اول است:
Tor1A(M,N)
=
ker(K⊗AN → P⊗AN).
پس Tor1 بهطور بسیار ملموس میپرسد:
«کدام عناصرِ ناصفر، هنگامِ تانسور گرفتن، به صفر فرو میافتند؟»
۳. دنبالهٔ دقیقِ بلندِ تور
از هر دنبالهٔ دقیق کوتاه
0 → L → M → Q → 0
با تانسور کردن با N، دنبالهٔ دقیق بلندِ همولوژیک بهدست میآید:
··· → Tor1A(M,N)
→ Tor1A(Q,N)
→ L⊗AN
→ M⊗AN
→ Q⊗AN → 0.
این دنباله نشان میدهد که ناتوانیِ تانسور در حفظِ تزریقیبودن، امری بیقاعده نیست:
خطای آن دقیقاً بهوسیلهٔ
Tor1A(Q,N)
جبران و کنترل میشود.
۴. معیارِ همولوژیکِ تختی
یک مدولِ F تخت است اگر و تنها اگر تانسور با آن، تمامِ دنبالههای دقیق کوتاه را دقیق نگاه دارد.
بیانِ همولوژیک و فشردهٔ این حکم چنین است:
F is flat
⇔
Tor1A(M,F)=0
for every A-module M.
در واقع، با ناپدیدشدنِ Tor1،
تانسور دیگر هیچ هستهٔ تازهای نمیآفریند؛ پس دقیقبودن از چپ نیز برقرار میشود.
هر مدولِ پروژکتیو تخت است، زیرا تمامِ تورهای مثبتِ آن ناپدیدند:
P projective
⇒
ToriA(P,N)=0
for all i>0.
۵. مثالِ بنیادی بر روی ℤ
از دنبالهٔ دقیقِ کوتاه
0 → ℤ ──n→ ℤ → ℤ/nℤ → 0
یک تفکیکِ آزادِ طولِ یک برای ℤ/nℤ بهدست میآید.
اگر آن را با ℤ/mℤ تانسور کنیم، همولوژیِ درجهٔ یک چنین خواهد بود:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ, ℤ/mℤ)
≅
ℤ/gcd(n,m)ℤ.
برای نمونه، اگر n=m باشد:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ,ℤ/nℤ) ≅ ℤ/nℤ.
یعنی همان عنصری که با ضرب در n در تانسور نابود میشود،
بهصورت یک کلاسِ همولوژیک در Tor1 ظاهر میگردد.
۶. معنای مشتقشده
در زبانِ دستهٔ مشتقشده، تور همولوژیِ تانسورِ مشتقشده است:
ToriA(M,N)
=
Hi(M⊗LAN).
علامتِ L یادآور آن است که پیش از تانسور گرفتن، باید یکی از عوامل را
با یک تفکیکِ پروژکتیو یا تخت جایگزین کرد. بنابراین
Tor نه یک افزودۀ صوری، بلکه خودِ تانسور است؛
اما تانسوری که در جهانِ همولوژیک، تمامِ لایههای پنهانِ عدمِ دقیقبودن را نیز آشکار کرده است.
خلاصه.
- Tor0 همان ضربِ تانسوریِ معمولی است.
- Tor1 شکستِ دقیقبودن از چپ را ثبت میکند.
- Tori برای درجاتِ بالاتر، همولوژیِ تفکیکِ تانسورشده است.
- تختی دقیقاً معادلِ ناپدیدشدنِ همگانیِ Tor1 است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.