توزیعپذیریِ تانسور بر مجموعِ مستقیم (Distributivity)
چون نهرهای بسیار در یک دریاچه میریزند،
تانسور نیز جمعِ راهها را میپذیرد؛
هر شاخه را جدا مینماید،
و سپس در وحدتِ جمعِ مستقیم گرد میآورد.
۱. بیانِ قضیه
فرض کنید A حلقهای جابجاییپذیر و واحددار باشد و
U، V' و V''
سه A-مدول باشند. آنگاه ضرب تانسوری بر مجموعِ مستقیم توزیع میشود:
U ⊗A (V′ ⊕ V″)
≅
(U ⊗A V′) ⊕ (U ⊗A V″).
به طور مشابه، توزیعپذیری در عاملِ نخست نیز برقرار است:
(U′ ⊕ U″) ⊗A V
≅
(U′ ⊗A V) ⊕ (U″ ⊗A V).
این همریختیها طبیعیاند؛ یعنی با ریختهای مدولی در همهٔ مؤلفهها سازگاری دارند و
از انتخابِ پایه یا نمایش ویژهای از مدولها مستقلاند.
۲. ساختنِ نگاشت در جهتِ نخست
ابتدا نگاشت زیر را بر تانسورهای ساده تعریف میکنیم:
Φ : U ⊗A (V′ ⊕ V″)
→ (U⊗AV′) ⊕ (U⊗AV″)
Φ(u ⊗ (v′,v″))
=
(u⊗v′, u⊗v″).
این فرمول با ساختارِ جمعی و اسکالرگیری سازگار است. برای نمونه:
Φ(u ⊗ ((v′1,v″1) + (v′2,v″2))
=
Φ(u ⊗ (v′1+v′2, v″1+v″2))
=
(u⊗(v′1+v′2), u⊗(v″1+v″2))
=
(u⊗v′1,u⊗v″1)
+
(u⊗v′2,u⊗v″2).
همچنین برای هر a∈A:
Φ((au) ⊗ (v′,v″))
=
((au)⊗v′,(au)⊗v″)
=
(u⊗(av′),u⊗(av″))
=
Φ(u⊗(av′,av″)).
پس این نگاشت با روابطِ متوازنِ تانسور سازگار است و از خاصیتِ جهانیِ ضرب تانسوری،
نگاشت خطیِ خوشتعریفِ Φ به دست میآید.
۳. ساختنِ نگاشتِ وارون
اکنون نگاشتِ مقابل را تعریف میکنیم:
Ψ : (U⊗AV′) ⊕ (U⊗AV″)
→ U⊗A(V′⊕V″).
ابتدا برای تانسورهای ساده میگذاریم:
Ψ(u⊗v′,0) = u⊗(v′,0),
و نیز:
Ψ(0,u⊗v″) = u⊗(0,v″).
سپس با خطیبودن، برای هر دو عنصرِ دلخواه
x∈U⊗AV′
و
y∈U⊗AV″
تعریف میکنیم:
Ψ(x,y)
=
(1U⊗ι′)(x)
+
(1U⊗ι″)(y),
که در آن:
ι′:V′→V′⊕V″, v′↦(v′,0),
و
ι″:V″→V′⊕V″, v″↦(0,v″)
نگاشتهای تزریقِ کانونیِ مجموعِ مستقیماند.
۴. اثباتِ وارونبودنِ دو نگاشت
نخست، برای یک تانسور ساده در سمت چپ داریم:
(Ψ○Φ)(u⊗(v′,v″))
=
Ψ(u⊗v′,u⊗v″).
پس:
Ψ(u⊗v′,u⊗v″)
=
u⊗(v′,0)+u⊗(0,v″).
و با جمعپذیریِ تانسور در عامل دوم:
u⊗(v′,0)+u⊗(0,v″)
=
u⊗((v′,0)+(0,v″))
=
u⊗(v′,v″).
پس:
Ψ○Φ = idU⊗(V′⊕V″).
اکنون روی مولّدهای طرف مقابل بررسی میکنیم:
(Φ○Ψ)(u⊗v′,0)
=
Φ(u⊗(v′,0))
=
(u⊗v′,0),
و نیز:
(Φ○Ψ)(0,u⊗v″)
=
Φ(u⊗(0,v″))
=
(0,u⊗v″).
چون این عناصر، مجموعِ مستقیمِ
(U⊗AV′)⊕(U⊗AV″)
را تولید میکنند، نتیجه میگیریم:
Φ○Ψ
=
id(U⊗V′)⊕(U⊗V″).
بنابراین Φ و Ψ وارونِ یکدیگرند و همریختیِ مورد نظر ثابت میشود. ■
۵. توزیعپذیری در عاملِ نخست
به شیوهای کاملاً مشابه، نگاشتِ زیر یک همریختی طبیعی است:
(U′⊕U″)⊗AV
→
(U′⊗AV)⊕(U″⊗AV),
که روی تانسورهای ساده با فرمولِ زیر داده میشود:
(u′,u″)⊗v
↦
(u′⊗v,u″⊗v).
پس میتوان گفت تانسور نسبت به مجموعِ مستقیم، در هر دو عامل توزیعپذیر است.
۶. تعمیم به مجموعهای مستقیم دلخواه
این نتیجه تنها به دو مدول محدود نیست. اگر
{Vi}i∈I
خانوادهای از A-مدولها باشد، آنگاه:
U⊗A(⊕i∈IVi)
≅
⊕i∈I(U⊗AVi).
دلیل بنیادی این امر آن است که تابعگرِ
U⊗A-
یک تابعگرِ الحاقیِ چپ است؛ و هر تابعگرِ الحاقیِ چپ، همحدها را حفظ میکند.
مجموع مستقیم نیز گونهای از همحد است.
نکتهٔ ردهای.
تانسور نهتنها مجموعهای مستقیم، بلکه خارجقسمتها و بهطور کلی همحدها را نیز حفظ میکند.
دقیقبودن از راستِ تابعگرِ تانسور، بازتابِ جبریِ همین حقیقت ردهای است.
۷. نمونه
در ردهٔ گروههای آبلی، بگذارید:
U = ℤ/6ℤ, V′ = ℤ/4ℤ, V″ = ℤ/9ℤ.
آنگاه:
ℤ/6ℤ ⊗ℤ (ℤ/4ℤ ⊕ ℤ/9ℤ)
به صورت طبیعی برابر است با:
(ℤ/6ℤ⊗ℤℤ/4ℤ)
⊕
(ℤ/6ℤ⊗ℤℤ/9ℤ).
و چون برای اعداد صحیحِ مثبت m,n داریم:
ℤ/mℤ ⊗ℤ ℤ/nℤ
≅
ℤ/gcd(m,n)ℤ،
نتیجه میشود:
ℤ/6ℤ ⊗ℤ (ℤ/4ℤ ⊕ ℤ/9ℤ)
≅
ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/3ℤ.
۸. جمعبندی
- تانسور بر مجموع مستقیم در هر دو عامل توزیع میشود.
- همریختیِ اصلی با فرمولِ u⊗(v′,v″)↦(u⊗v′,u⊗v″) ساخته میشود.
- وارونِ آن از نگاشتهای تزریقِ کانونیِ مجموع مستقیم به دست میآید.
- این توزیعپذیری برای خانوادههای دلخواه از مدولها نیز برقرار است.
- حفظِ مجموع مستقیم، جلوهای از آن است که تابعگر تانسور یک تابعگرِ الحاقیِ چپ است.
جمع اگر بسیار شد، تانسور آن را پراکنده نمیکند؛
هر جزء را در آینهٔ خویش مینماید،
و سپس همه را در جمعی دیگر، به نظمِ نخستین بازمیگرداند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.