تداعیِ ضربِ تانسوری (Associativity)
سه رشته اگر در کارگاهِ تانسور به هم پیوندند،
جایِ گره را میتوان دگرگون کرد، بیآنکه گوهرِ پیوند دگر شود.
۱. صورتِ مسئله
فرض کنید A حلقهای جابجاییپذیر و دارای واحد باشد و
U، V و W
سه A-مدول باشند. دو شیوه برای تانسورکردنِ این سه مدول وجود دارد:
(U ⊗A V) ⊗A W
و
U ⊗A (V ⊗A W).
در عبارت نخست، ابتدا U و V را تانسور
میکنیم و سپس حاصل را با W تانسور میگیریم؛
در عبارت دوم، نخست V و W به هم پیوند
میخورند.
قضیهٔ تداعیِ تانسور.
میان این دو مدول، یک همریختیِ طبیعی وجود دارد:
(U ⊗A V) ⊗A W
≅
U ⊗A (V ⊗A W).
واژهٔ طبیعی مهم است: این همریختی وابسته به انتخابِ پایه، نمایش خاصی از مدولها،
یا تصمیمی بیرونی نیست؛ خودِ ساختارِ تانسور آن را اقتضا میکند.
۲. تعریفِ نگاشتِ تداعی
نگاشتِ اصلی را بر تانسورهای ساده چنین تعریف میکنیم:
αU,V,W :
(U ⊗A V) ⊗A W
→ U ⊗A (V ⊗A W)
αU,V,W((u ⊗ v) ⊗ w)
=
u ⊗ (v ⊗ w).
به بیان شهودی، این نگاشت فقط پرانتزگذاری را جابهجا میکند:
((u,v),w) ↦ (u,(v,w)).
ولی باید توجه داشت که تانسورهای ساده، تنها مولّدهای مدول تانسوریاند و هر عنصرِ تانسور
لزوماً یک تانسور ساده نیست. بنابراین باید ثابت کنیم که این فرمول با روابطِ تانسوری سازگار
است و نگاشتی خوشتعریف میسازد.
۳. خوشتعریفبودن
ابتدا نگاشتِ سهخطی زیر را در نظر بگیرید:
f : U × V × W → U ⊗A (V ⊗A W)
f(u,v,w) = u ⊗ (v ⊗ w).
این نگاشت نسبت به هر یک از سه متغیر خطی است. برای نمونه، در متغیر نخست:
f(u+u',v,w)
= (u+u') ⊗ (v⊗w)
= u⊗(v⊗w) + u'⊗(v⊗w).
همچنین رابطهٔ تعادلیِ تانسور برقرار است. برای هر a∈A داریم:
f(au,v,w)
= au ⊗ (v⊗w)
= u ⊗ (av⊗w)
= u ⊗ ((av)⊗w)
= f(u,av,w).
و نیز:
f(u,av,w)
= u ⊗ ((av)⊗w)
= u ⊗ (v⊗aw)
= f(u,v,aw).
بنابراین خاصیتِ جهانیِ ضرب تانسوری، نگاشتِ خطی یکتایی را نتیجه میدهد:
αU,V,W :
(U⊗AV)⊗AW
→ U⊗A(V⊗AW),
که بر مولّدهای ساده، همان فرمولِ مورد نظر را دارد:
(u⊗v)⊗w ↦ u⊗(v⊗w).
۴. ساختنِ نگاشتِ وارون
اکنون در جهتِ مقابل تعریف میکنیم:
βU,V,W :
U ⊗A (V ⊗A W)
→ (U ⊗A V) ⊗A W
βU,V,W(u ⊗ (v ⊗ w))
=
(u ⊗ v) ⊗ w.
همان استدلالِ سهخطیبودن و خاصیتِ جهانی، خوشتعریفبودنِ این نگاشت را تضمین میکند.
اکنون بر مولّدهای ساده داریم:
(βU,V,W ○ αU,V,W)((u⊗v)⊗w)
=
βU,V,W(u⊗(v⊗w))
=
(u⊗v)⊗w.
پس:
βU,V,W ○ αU,V,W = id.
و به همان شیوه:
(αU,V,W ○ βU,V,W)(u⊗(v⊗w))
=
u⊗(v⊗w).
بنابراین:
αU,V,W ○ βU,V,W = id.
در نتیجه، αU,V,W و
βU,V,W وارونِ یکدیگرند و همریختیِ تداعی ثابت میشود. ■
۵. معنای طبیعیبودن
اگر نگاشتهای خطیِ زیر داده شده باشند:
f:U→U′, g:V→V′, h:W→W′,
آنگاه همریختیِ تداعی با این نگاشتها سازگار است. یعنی نمودار زیر جابجاییپذیر است:
(U⊗V)⊗W --αU,V,W--> U⊗(V⊗W)
| (f⊗g)⊗h | f⊗(g⊗h)
v v
(U′⊗V′)⊗W′ --αU′,V′,W′--> U′⊗(V′⊗W′)
کافی است این سازگاری را روی تانسور ساده بررسی کنیم:
((f⊗g)⊗h)((u⊗v)⊗w)
=
(f(u)⊗g(v))⊗h(w),
و پس از اعمالِ تداعی:
f(u) ⊗ (g(v) ⊗ h(w)).
از راه دیگر نیز دقیقاً همین عنصر حاصل میشود. پس تداعی نه یک قراردادِ تصادفی،
بلکه همریختیای سازگار با همهٔ ریختهای مدولی است.
۶. نکتهٔ مهم دربارهٔ نمادگذاری
به سببِ این همریختیِ طبیعی، معمولاً پرانتزها را حذف میکنیم و مینویسیم:
U ⊗A V ⊗A W.
اما از دید دقیقِ ردهای، دو مدولِ
(U⊗AV)⊗AW
و
U⊗A(V⊗AW)
عیناً یک شیء نیستند؛ بلکه با همریختیِ طبیعیِ
αU,V,W
به هم شناسایی میشوند.
احتیاط در حالتِ ناجابجایی.
اگر A ناجابجایی باشد، باید سمتِ کنشها را رعایت کرد:
برای مثال، اگر U یک A-مدول راست،
V یک دوجهتیِ (A,A) و
W یک A-مدول چپ باشد، آنگاه همچنان داریم:
(U⊗AV)⊗AW
≅
U⊗A(V⊗AW).
ولی بدونِ ساختارِ دوجهتیِ مناسب بر V، یکی از دو طرف ممکن است اصلاً تعریف نشده باشد.
۷. جمعبندی
- تانسورِ سه مدول، مستقل از محلِ پرانتزگذاری است؛ البته تا همریختیِ طبیعی.
- همریختیِ تداعی با فرمولِ (u⊗v)⊗w ↦ u⊗(v⊗w) تعیین میشود.
- خوشتعریفبودنِ آن از سهخطیبودن و خاصیتِ جهانیِ ضرب تانسوری به دست میآید.
- وارونِ آن با فرمولِ u⊗(v⊗w) ↦ (u⊗v)⊗w داده میشود.
- طبیعیبودنِ این همریختی، پایهٔ نگاهِ ردهای به ردهٔ تکتاییِ مدولهاست.
پرانتزها دگرگون میشوند، اما نَفَسِ تانسور یکی است؛
صورتها بسیارند و نسبتِ پیوند، در ژرفا یگانه است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.