۲۰. تانسور و دنبالههای دقیق
تانسور، رازِ پیوندِ مدولهاست؛
اما هر پیوندی، مرزِ زیرمدول را سالم نگاه نمیدارد.
از راست، راه گشوده است؛
و از چپ، گاه گرهی پدیدار میشود.
در این بخش، فرض میکنیم A یک حلقهٔ جابجاییپذیرِ واحددار است و
Q یک A-مدول. هدف آن است که رفتارِ تابعگر
- ⊗A Q
را نسبت به دنبالههای دقیق بررسی کنیم.
۲۰-۱. یادآوریِ دنبالهٔ دقیق کوتاه
دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید:
0 → L --i--> M --p--> N → 0
این دنباله دقیق کوتاه است اگر:
- نگاشتِ i یکبهیک باشد؛
- نگاشتِ p پوشا باشد؛
- تصویرِ i دقیقاً هستهٔ p باشد.
پس میتوان L را زیرمدولی از M دانست و نوشت:
N ≅ M/L.
۲۰-۲. قضیهٔ دقیقبودن از راست
قضیه.
اگر دنبالهٔ
0 → L → M → N → 0
دقیق کوتاه باشد، آنگاه پس از تانسورکردن با Q، دنبالهٔ زیر دقیق است:
L ⊗A Q → M ⊗A Q → N ⊗A Q → 0.
به زبان تابعگری، تابعگرِ
-⊗AQ
همواره دقیق از راست است.
برهان. چون نگاشتِ p:M→N پوشاست، برای هر عنصرِ n∈N، عنصری چون m∈M وجود دارد که:
n = p(m).
بنابراین، برای هر تانسور سادهٔ n⊗q داریم:
n ⊗ q = p(m) ⊗ q = (p ⊗ 1Q)(m ⊗ q).
پس نگاشتِ p⊗1Q پوشاست. از سوی دیگر:
(p ⊗ 1Q) ○ (i ⊗ 1Q)
= (p ○ i) ⊗ 1Q = 0.
پس:
Im(i ⊗ 1Q) ⊆ Ker(p ⊗ 1Q).
اما چون N≅M/L، خاصیتِ تانسور با خارجقسمت به ما میدهد:
(M/L) ⊗A Q
≅
(M ⊗A Q) / Im(L ⊗A Q).
بنابراین هستهٔ نگاشتِ M⊗AQ→N⊗AQ
دقیقاً تصویرِ L⊗AQ است. پس:
Im(i ⊗ 1Q) = Ker(p ⊗ 1Q).
پس دنباله در دو جملهٔ آخر دقیق میماند. ■
۲۰-۳. چرا دقیقبودن از چپ برقرار نیست؟
نکتهٔ ظریف این است که تانسورکردن، لزوماً یکبهیکیبودنِ نگاشتِ نخست را حفظ نمیکند.
نمونهٔ بنیادی را در ردهٔ گروههای آبلی در نظر بگیرید:
0 → ℤ --×n--> ℤ → ℤ/nℤ → 0.
این دنباله دقیق کوتاه است. اکنون آن را با ℤ/nℤ تانسور میکنیم. با توجه به همریختی طبیعیِ
ℤ⊗ℤM≅M، ابتدای دنبالهٔ جدید چنین میشود:
ℤ/nℤ --×n--> ℤ/nℤ.
اما ضرب در n بر ℤ/nℤ نگاشتِ صفر است:
n[x] = [nx] = [0].
پس این نگاشت، مگر در حالتِ بدیهی، یکبهیک نیست. بنابراین دنبالهٔ تانسورشده به شکلِ زیر از چپ دقیق نیست:
0 → ℤ/nℤ --0--> ℤ/nℤ.
نتیجه:
تابعگر تانسور بهطور کلی دقیق نیست؛ فقط دقیق از راست است.
شکستِ دقیقبودن از چپ، در بخشهای بعدی با گروههای
Tor
سنجیده خواهد شد.
۲۰-۴. حالتِ شکافته
اگر دنبالهٔ دقیق کوتاه شکافته باشد، یعنی:
M ≅ L ⊕ N،
آنگاه به کمکِ توزیعپذیریِ تانسور نسبت به جمع مستقیم داریم:
M ⊗A Q
≅
(L ⊕ N) ⊗A Q
≅
(L ⊗A Q) ⊕ (N ⊗A Q).
ازاینرو، در این حالت دنبالهٔ تانسورشده نیز شکافته و دقیق کوتاه است:
0 → L⊗AQ → M⊗AQ → N⊗AQ → 0.
پس منشأ دشواری، دنبالههای دقیقِ ناشکافتهاند؛ همانجا که تانسور میتواند بخشی از اطلاعاتِ تزریقی را فرسوده کند.
۲۰-۵. جمعبندی
- تانسورکردن با یک مدول، نگاشتهای پوشا را حفظ میکند.
- تانسورکردن، خارجقسمتها را بهدرستی حمل میکند.
- ازاینرو، تابعگرِ -⊗AQ دقیق از راست است.
- اما تانسورکردن ممکن است تکریختیها را به نگاشتهای غیرتزریقی تبدیل کند.
- برای مدولهایی که این شکست رخ نمیدهد، مفهومِ مدول تخت معرفی میشود.
تانسور از راست، درِ خارجقسمت را میگشاید؛
اما از چپ، اگر مدول تخت نباشد، گاه سایهای از هسته بر راه میافتد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.