۳۶. بازخوانیِ تختی با زبانِ Tor
در این بخش، مفهومِ تختی را از دیدگاهِ همولوژیک بازمیخوانیم.
پیامِ اصلی چنین است: یک مدول دقیقاً هنگامی تخت است که هیچ مانعِ درجهٔ اوّلِ تانسوری، یعنی هیچ گروهِ
Tor1، پدید نیاورد.
۳۶ـ۱. قرارداد و یادآوریِ مسئله
در سراسر این بخش، A را یک حلقهٔ جابجاییپذیرِ واحددار و
Q را یک A-مدول میگیریم.
در حالتِ ناجابجایی، باید جانبها را رعایت کرد: اگر M یک راستمدول و
Q یک چپمدول باشد، آنگاه تانسورِ
M ⊗A Q تعریف میشود.
میدانیم که تابعگرِ تانسوری
- ⊗A Q
همواره دقیق از راست است. یعنی اگر دنبالهٔ کوتاهِ زیر دقیق باشد:
0 → L → M → N → 0,
پس از تانسورکردن با Q، دنبالهٔ زیر در سمت راست دقیق میماند:
L ⊗A Q → M ⊗A Q → N ⊗A Q → 0.
اما ممکن است نگاشتِ نخست، یعنی
L⊗AQ → M⊗AQ،
یکبهیک نباشد. بنابراین، پرسشِ اساسی این است:
پرسش:
چه زمانی تانسورکردن با Q، همهٔ دنبالههای کوتاه دقیق را دقیقِ کوتاه نگاه میدارد؟
پاسخ، مفهومِ تختی است؛ و زبانِ دقیقِ اندازهگیریِ این پاسخ، گروههای
Tor هستند.
۳۶ـ۲. تعریف مدول تخت
تعریف ۳۶ـ۱.
یک A-مدول Q را تخت مینامیم اگر تابعگر
- ⊗A Q
دقیق باشد.
به بیان روشنتر، Q تخت است اگر برای هر دنبالهٔ کوتاه دقیق:
0 → L → M → N → 0,
دنبالهٔ تانسورشده نیز دقیقِ کوتاه باشد:
0 → L ⊗A Q → M ⊗A Q → N ⊗A Q → 0.
چون دقیقبودن از راست همواره برقرار است، برای تختبودن کافی و لازم است که تانسورکردن با
Q همهٔ تکریختیها را حفظ کند. یعنی هرگاه
L → M
یک نگاشتِ یکبهیک باشد، نگاشتِ القاشدهٔ زیر نیز یکبهیک بماند:
L ⊗A Q → M ⊗A Q.
۳۶ـ۳. Tor؛ شاهدِ شکستِ دقیقبودن از چپ
برای یک A-مدول M، یک تفکیک آزاد اختیار میکنیم:
... → F2 → F1 → F0 → M → 0.
پس از تانسورکردن با Q، مختلط زیر حاصل میشود:
... → F2⊗AQ → F1⊗AQ → F0⊗AQ → 0.
این مختلط در درجهٔ صفر، همان تانسورِ معمولی را میدهد:
Tor0A(M,Q) ≅ M ⊗A Q.
اما همولوژی در درجهٔ یک، همان نقطهای است که شکستِ دقیقبودنِ چپ را ضبط میکند:
Tor1A(M,Q)
=
Ker(F1⊗AQ → F0⊗AQ)
/
Im(F2⊗AQ → F1⊗AQ).
پس Tor1 را میتوان «باقیماندهٔ همولوژیکِ نادقیقبودنِ تانسور» دانست:
عنصری که پس از تانسورکردن در هسته پدید آمده، ولی از مرحلهٔ پیشین نیامده است.
۳۶ـ۴. قضیهٔ معیار Tor برای تختی
قضیهٔ ۳۶ـ۲. معیار همولوژیک تختی.
برای یک A-مدول Q، گزارههای زیر همارزند:
- Q تخت است.
برای هر تکریختیِ L → M، نگاشتِ طبیعیِ
L⊗AQ → M⊗AQ
نیز تکریختی است.
برای هر A-مدول M، داریم:
Tor1A(M,Q) = 0.
برهانِ همارزیِ (۱) و (۲)
اگر Q تخت باشد، تابعگرِ
-⊗AQ
دقیق است؛ و هر تابعگر دقیق، تکریختیها را به تکریختی تبدیل میکند. پس (۱)، (۲) را نتیجه میدهد.
برعکس، فرض کنید (۲) برقرار باشد. یک دنبالهٔ کوتاه دقیق اختیار میکنیم:
0 → L → M → N → 0.
طبق فرض، پس از تانسورکردن، نگاشتِ
L⊗Q → M⊗Q
تزریقی است. از سوی دیگر، تانسور همواره از راست دقیق است؛ پس:
0 → L⊗AQ → M⊗AQ → N⊗AQ → 0
دقیق خواهد بود. بنابراین Q تخت است. پس (۱) و (۲) همارزند. ■
برهانِ (۱) ⇒ (۳)
فرض کنید Q تخت باشد و یک تفکیک آزاد از M اختیار کنیم:
... → F2 → F1 → F0 → M → 0.
این مختلط پیش از تانسورکردن دقیق است. چون Q تخت است، تانسورکردن با آن
دقیقبودن را حفظ میکند. در نتیجه مختلطِ تانسورشده:
... → F2⊗Q → F1⊗Q → F0⊗Q → M⊗Q → 0
در همهٔ درجاتِ مثبت دقیق است. پس همولوژیِ درجهٔ یک آن صفر میشود؛ یعنی:
Tor1A(M,Q)=0.
چون M دلخواه بود، گزارهٔ (۳) برقرار است. ■
برهانِ (۳) ⇒ (۱)
اکنون فرض کنید برای هر A-مدول N داشته باشیم:
Tor1A(N,Q)=0.
یک دنبالهٔ کوتاه دقیق دلخواه در نظر بگیرید:
0 → L → M → N → 0.
دنبالهٔ دقیقِ بلندِ Tor، در اطرافِ درجهٔ صفر، قطعهٔ زیر را در اختیار میگذارد:
Tor1A(N,Q)
→ L⊗AQ
→ M⊗AQ
→ N⊗AQ
→ 0.
جملهٔ نخست، بنا بر فرض، صفر است. بنابراین هستهٔ نگاشتِ
L⊗Q → M⊗Q
صفر خواهد بود؛ پس این نگاشت یکبهیک است. از آنجا که بخشِ راستِ دنباله نیز همواره دقیق است، نتیجه میگیریم:
0 → L⊗AQ → M⊗AQ → N⊗AQ → 0.
پس تانسورکردن با Q هر دنبالهٔ کوتاه دقیق را دقیق نگاه میدارد؛ یعنی
Q تخت است. ■
۳۶ـ۵. تفسیر دقیقِ دنبالهٔ بلند
برای دنبالهٔ کوتاه دقیقِ
0 → L → M → N → 0,
قطعهٔ مهمِ دنبالهٔ بلند چنین است:
Tor1A(N,Q)
→ L⊗AQ
→ M⊗AQ.
دقیقبودن میگوید:
Im(Tor1A(N,Q) → L⊗Q)
=
Ker(L⊗Q → M⊗Q).
پس هر عنصری از L⊗Q که در M⊗Q صفر میشود،
از یک عنصرِ Tor1A(N,Q) برخاسته است.
به این معنا، Tor1(N,Q) دقیقاً محلّی است که «از بینرفتنِ تزریقیبودن» در آن ثبت میشود.
۳۶ـ۶. مثال: چرا ℤ/nℤ تخت نیست؟
دنبالهٔ کوتاه دقیقِ زیر را در ردهٔ گروههای آبلی در نظر بگیرید:
0 → ℤ --×n--> ℤ → ℤ/nℤ → 0.
حال با ℤ/nℤ تانسور میکنیم. چون:
ℤ ⊗ℤ ℤ/nℤ ≅ ℤ/nℤ،
نگاشتِ نخست به ضرب در n روی ℤ/nℤ تبدیل میشود:
ℤ/nℤ --×n--> ℤ/nℤ.
اما این نگاشت صفر است. پس یکبهیک نیست و بنابراین ℤ/nℤ تخت نیست.
این ناتختی در زبانِ Tor چنین آشکار میشود:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ, ℤ/nℤ)
≅ ℤ/nℤ ≠ 0.
پس ناصفر بودنِ Tor1، بهصورت کاملاً عینی، خبر میدهد که
تانسور با ℤ/nℤ یک تکریختی را از میان برده است.
۳۶ـ۷. نتایج فوری
مدولهای آزاد تختاند.
زیرا تانسور با یک مدول آزاد به مجموع مستقیمِ نسخههایی از مدول نخست تبدیل میشود و مجموع مستقیم، دقیقبودن را حفظ میکند.
مدولهای پروژکتیو تختاند.
هر مدول پروژکتیو عاملِ مستقیمِ یک مدول آزاد است؛ و عاملِ مستقیمِ یک مدول تخت نیز تخت است.
اگر Q تخت باشد، برای هر M و هر i>0 داریم:
ToriA(M,Q)=0.
در واقع تختی، تنها Tor1 را خاموش نمیکند؛ با خاموششدنِ مانعِ نخست، همهٔ همولوژیهای مثبتِ تانسور نیز ناپدید میشوند.
در حالت جابجاییپذیر، به تقارن طبیعیِ Tor داریم:
ToriA(M,N) ≅ ToriA(N,M).
پس میتوان تختی را در هر یک از دو متغیرِ تانسوری بازشناخت.
۳۶ـ۸. خلاصهٔ نهایی
تانسور همواره دقیق از راست است، اما ممکن است در سمت چپ دقیق نباشد.
مدول Q تخت است اگر تانسور با آن همهٔ تکریختیها را حفظ کند.
گروه Tor1A(M,Q) مانعِ همولوژیکِ همین حفظِ تزریقیبودن است.
معیار بنیادیِ تختی چنین است:
Q is flat ⇔ Tor1A(M,Q)=0 for every A-module M.
تختی، سکوتِ مانع است: هرگاه Tor در درجهٔ نخست خاموش شود، تانسور بیآنکه رشتهای را از چپ بگسلد، از دنبالهٔ دقیق عبور میکند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.