دقیقبودنِ تانسور، مدولهای تخت و گروههای Tor
ضرب تانسوری، جمع و خارجقسمت را بهخوبی حمل میکند؛ اما لزوماً زیرمدولها را سالم نگاه نمیدارد.
همین شکستِ احتمالی، سرچشمهٔ مفهومِ تختی و گروههای همولوژیکِ Tor است.
۱. یادآوری: دنبالهٔ دقیق
دنبالهٔ مدولها و همریختیهای A-خطی
L --i--> M --p--> N
در مدول میانی دقیق است، هرگاه:
Im(i) = Ker(p)
بهویژه، دنبالهٔ کوتاهِ
0 → L --i--> M --p--> N → 0
دقیق است اگر و تنها اگر i یکبهیک، p پوشا، و
Im(i)=Ker(p) باشد. در این صورت، به طور طبیعی داریم:
N ≅ M / L
۲. قضیهٔ دقیقبودن از راستِ تانسور
قضیه.
اگر دنبالهٔ کوتاهِ زیر دقیق باشد:
0 → L --i--> M --p--> N → 0,
آنگاه برای هر A-مدول Q، دنبالهٔ زیر دقیق است:
L ⊗A Q --i⊗1--> M ⊗A Q --p⊗1--> N ⊗A Q → 0.
یعنی تابعگر - ⊗A Q، دقیق از راست است.
برهان. چون p : M → N پوشا است، هر عنصرِ n ∈ N به شکل n=p(m) برای یک m ∈ M نوشته میشود. پس هر تانسورِ سادهٔ n⊗q چنین است:
n ⊗ q = p(m) ⊗ q = (p ⊗ 1)(m ⊗ q).
از آنجا که تانسورهای ساده مولدِ N ⊗A Q هستند،
نگاشتِ p⊗1 پوشا است.
اکنون روشن است که ترکیبِ دو نگاشت صفر است:
(p ⊗ 1) ○ (i ⊗ 1) = (p ○ i) ⊗ 1 = 0.
پس:
Im(i ⊗ 1) ⊆ Ker(p ⊗ 1).
برای اثباتِ شمولِ معکوس، چون N ≅ M/L است، نگاشتِ طبیعی
M → N خارجقسمتگیری به پیمانهٔ L است.
با تانسورکردن، داریم:
N ⊗A Q ≅ (M/L) ⊗A Q.
و خاصیتِ اساسیِ تانسور با خارجقسمت میگوید:
(M/L) ⊗A Q ≅ (M ⊗A Q) / Im(L ⊗A Q).
بنابراین، هستهٔ نگاشتِ طبیعی از M⊗Q به
N⊗Q دقیقاً تصویرِ L⊗Q است؛ یعنی:
Ker(p ⊗ 1) = Im(i ⊗ 1).
پس دنبالهٔ تانسورشده در M⊗Q دقیق و در انتها پوشاست. اما هیچ تضمینی نداریم که
i⊗1 یکبهیک باشد. همین نکته، مرزِ دقیقبودنِ راست و چپ است. ■
۳. نمونهٔ شکستِ دقیقبودن از چپ
دنبالهٔ زیر را در ردهٔ ℤ-مدولها، یعنی گروههای آبلی، در نظر بگیرید:
0 → ℤ --×n--> ℤ → ℤ/nℤ → 0.
این دنباله دقیق است. حال آن را با ℤ/nℤ تانسور میکنیم:
ℤ ⊗ ℤ/nℤ --×n⊗1--> ℤ ⊗ ℤ/nℤ → (ℤ/nℤ) ⊗ ℤ/nℤ → 0.
از همریختیِ طبیعیِ ℤ⊗M ≅ M نتیجه میشود:
ℤ/nℤ --×n--> ℤ/nℤ.
ولی ضرب در n بر روی ℤ/nℤ نگاشتِ صفر است، نه یکبهیک. پس پس از تانسورکردن، تکریختیِ نخست از بین رفته است.
نتیجه:
تانسورکردن لزوماً تکریختیها را حفظ نمیکند؛ ازاینرو تابعگر تانسوری عموماً دقیق نیست، بلکه فقط دقیق از راست است.
۴. تعریفِ مدول تخت
تعریف.
یک A-مدول Q را تخت مینامیم هرگاه تابعگر
- ⊗A Q
دقیق باشد.
به بیانِ همارز، Q تخت است اگر برای هر دنبالهٔ کوتاهِ دقیق
0 → L → M → N → 0،
دنبالهٔ تانسورشده نیز دقیقِ کوتاه بماند:
0 → L ⊗A Q → M ⊗A Q → N ⊗A Q → 0.
از آنجا که دقیقبودن از راست همیشه برقرار است، کافی است بررسی کنیم که برای هر تکریختی
L → M، نگاشتِ القاشدهٔ
L⊗Q → M⊗Q
نیز تکریختی باشد.
نمونههای مهم
هر مدولِ آزاد تخت است. زیرا اگر
F ≅ ⊕i∈I A
باشد، آنگاه:
M ⊗A F ≅ ⊕i∈I M،
و مجموعِ مستقیمِ نسخههای متعددِ یک دنبالهٔ دقیق، دقیق است.
هر مدولِ پروژکتیو تخت است؛ زیرا هر مدولِ پروژکتیو، عاملِ مستقیمِ یک مدولِ آزاد است و عامل مستقیمِ یک مدول تخت نیز تخت است.
بر روی ℤ، هر گروه آبلیِ بدون پیچش تخت است. برای مثال:
ℤ و ℚ تختاند؛ اما
ℤ/nℤ برای n>1 تخت نیست.
۵. تفکیکِ آزاد
تعریف.
تفکیکِ آزادِ یک A-مدول M، یک مختلطِ دقیق از مدولهای آزاد است:
... → F2 --d2--> F1 --d1--> F0 --ε--> M → 0.
یعنی هر Fi آزاد است و برای هر i≥1 داریم:
Im(di+1) = Ker(di).
هر مدول دارای تفکیک آزاد است. برای ساختن آن، ابتدا یک مدول آزادِ F0 و یک پوشش
F0 → M اختیار میکنیم. سپس هستهٔ این پوشش را با یک مدول آزاد
F1 میپوشانیم؛ این فرایند را برای هستههای پیاپی ادامه میدهیم.
اگر این تفکیک آزاد را با مدول N تانسور کنیم، مختلط زیر به دست میآید:
... → F2⊗AN → F1⊗AN → F0⊗AN → 0.
این مختلط ممکن است دیگر در درجاتِ مثبت دقیق نباشد. همولوژیِ ناشی از همین نادقیقبودن، گروههای Tor را میسازد.
۶. تعریف گروههای Tor
تعریف.
اگر F• → M یک تفکیک آزاد از M باشد، برای هر
i≥0 تعریف میکنیم:
ToriA(M,N) := Hi(F• ⊗A N).
به طور مشخص، برای i≥1 داریم:
ToriA(M,N)
=
Ker(di ⊗ 1) / Im(di+1 ⊗ 1).
در درجهٔ صفر نیز:
Tor0A(M,N) ≅ M ⊗A N.
تعریفِ بالا به تفکیکِ آزادِ انتخابشده وابسته نیست؛ یعنی هر دو تفکیک آزاد، گروههای Tor همریختِ طبیعی تولید میکنند. این استقلال، حاصلِ قضیهٔ مقایسهٔ تفکیکهای پروژکتیو و یکتاییِ همولوژیِ حاصل از آن است.
۷. محاسبهٔ Tor برای مدولهای دوری بر روی ℤ
برای محاسبهٔ Tor1ℤ(ℤ/nℤ,ℤ/mℤ) از تفکیک آزادِ زیر برای
ℤ/nℤ استفاده میکنیم:
0 → ℤ --×n--> ℤ → ℤ/nℤ → 0.
پس از تانسورکردن با ℤ/mℤ، مختلط زیر حاصل میشود:
0 → ℤ/mℤ --×n--> ℤ/mℤ → 0.
بنابراین:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ, ℤ/mℤ)
=
Ker(×n : ℤ/mℤ → ℤ/mℤ).
اگر d=gcd(m,n) باشد، عناصرِ هسته دقیقاً کلاسهایی هستند که ضرب در
n آنها را در پیمانهٔ m صفر میکند. این هسته گروهی دوری از مرتبهٔ d است؛ ازاینرو:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ, ℤ/mℤ)
≅ ℤ/gcd(m,n)ℤ.
به همین شیوه داریم:
(ℤ/nℤ) ⊗ℤ (ℤ/mℤ)
≅ ℤ/gcd(m,n)ℤ.
هرچند در این مثال، دو گروه از حیثِ شکلِ انتزاعی یکساناند، معنایشان متفاوت است:
تانسورِ معمولی در درجهٔ صفر ظاهر میشود، اما Tor1 اندازهٔ شکستِ دقیقبودن از چپ است.
۸. معیار همولوژیکِ تختی
قضیه.
برای یک A-مدول Q، گزارههای زیر همارزند:
- Q تخت است.
- برای هر تکریختیِ L → M، نگاشتِ L⊗AQ → M⊗AQ تکریختی است.
- برای هر A-مدول M، داریم:
Tor1A(M,Q)=0.
برهانِ همارزیِ (۱) و (۲). اگر Q تخت باشد، تابعگر تانسوری دقیق است؛ پس تکریختیها را حفظ میکند. برعکس، اگر تانسور با Q همهٔ تکریختیها را حفظ کند، از دقیقبودنِ راستِ همیشگیِ تانسور نتیجه میشود که تانسورکردن هر دنبالهٔ کوتاه دقیق را دقیقِ کوتاه نگاه میدارد. پس Q تخت است.
برهانِ (۱) ⇒ (۳). یک تفکیک آزاد از M اختیار کنید:
... → F2 → F1 → F0 → M → 0.
چون Q تخت است، تانسورکردن با آن دقیقبودن این مختلط را در همهٔ درجات حفظ میکند. بنابراین همولوژیِ درجات مثبت صفر است و بهویژه:
Tor1A(M,Q)=0.
برهانِ (۳) ⇒ (۱). یک دنبالهٔ کوتاه دقیق اختیار کنید:
0 → L → M → N → 0.
از دنبالهٔ دقیقِ بلندِ Tor، قطعهٔ زیر را داریم:
Tor1A(N,Q) → L⊗AQ → M⊗AQ → N⊗AQ → 0.
طبق فرض، جملهٔ نخست صفر است. پس نگاشتِ
L⊗Q → M⊗Q یکبهیک میشود؛ و از دقیقبودنِ راست نیز نتیجه میگیریم:
0 → L⊗AQ → M⊗AQ → N⊗AQ → 0.
پس Q تخت است. ■
۹. دنبالهٔ دقیقِ بلندِ Tor
قضیه.
از هر دنبالهٔ کوتاه دقیق
0→L→M→N→0
و هر مدول Q، یک دنبالهٔ دقیقِ بلند به دست میآید:
... → Tor2A(N,Q)
→ Tor1A(L,Q)
→ Tor1A(M,Q)
→ Tor1A(N,Q)
→ L⊗AQ
→ M⊗AQ
→ N⊗AQ
→ 0.
این دنباله نشان میدهد که Tor1A(N,Q) دقیقاً پیش از
L⊗Q مینشیند و مانعِ تزریقیبودنِ نگاشت
L⊗Q → M⊗Q را اندازه میگیرد.
۱۰. ناپدیدشدن Tor و تقارن آن
قضیه.
اگر P یک مدولِ پروژکتیو باشد، برای هر مدول N و هر
i>0 داریم:
ToriA(P,N)=0.
زیرا برای مدول پروژکتیو، تفکیک آزاد را میتوان در درجهٔ صفر متوقف کرد؛ پس مختلطِ تانسورشده در درجاتِ مثبت جملهای ندارد که همولوژیِ ناصفر بسازد.
قضیهٔ تقارن.
اگر A جابجاییپذیر باشد، برای هر دو A-مدول
M,N و هر i≥0 همریختیِ طبیعی داریم:
ToriA(M,N) ≅ ToriA(N,M).
در درجهٔ صفر، این همان تقارنِ تانسور است:
M⊗AN ≅ N⊗AM.
در درجات بالاتر، تقارن از محاسبهٔ همولوژیِ یک تفکیکِ دوگانه و جابهجاییِ دو عامل در تانسور برمیخیزد.
۱۱. جمعبندیِ مفهومی
- تابعگرِ -⊗AQ همواره دقیق از راست است.
- شکستِ احتمالیِ دقیقبودن از چپ، با گروهِ Tor1 اندازهگیری میشود.
- مدولِ Q تخت است اگر تانسورکردن با آن، هیچ تکریختیای را نابود نکند.
- معیار دقیق و همولوژیکِ تختی چنین است:
Q flat ⇔ Tor1A(M,Q)=0 for every A-module M.
- Toriها تابعگرهای مشتقشدهٔ چپِ ضرب تانسوریاند و ژرفای نادقیقبودن تانسور را در درجات مختلف آشکار میکنند.
تانسور، صورتِ پیوند است؛ تختی، سلامتِ این پیوند؛ و Tor، نامِ ردّی است که شکستِ پنهان بر آینهٔ همولوژی باقی میگذارد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.