۲۳. شکستِ دقیقبودن و پیدایش Tor
تانسورکردن با یک مدول، دنبالههای دقیق را از راست حفظ میکند؛
اما ممکن است نگاشت یکبهیکِ ابتدای دنباله را به نگاشتی با هستهٔ ناصفر تبدیل کند.
اندازهگیرِ این شکست، گروههای Tor هستند.
Tor1A(M,V)
۲۴. تعریف Tor با ارائهٔ آزاد
اگر یک ارائهٔ آزاد از M داشته باشیم:
F1 → F0 → M → 0
پس از تانسورکردن با V، تعریف میکنیم:
Tor1A(M,V)
=
Ker(F1 ⊗A V → F0 ⊗A V)
بهطور کلی، اگر F• → M یک تفکیک آزاد باشد:
ToriA(M,V)
=
Hi(F• ⊗A V)
۲۵. محاسبهٔ نمونه روی اعداد صحیح
از ارائهٔ آزادِ زیر آغاز میکنیم:
0 → ℤ ──×n──→ ℤ → ℤ/nℤ → 0
برای هر گروه آبلی N، نتیجه میشود:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ,N)
≅
{x ∈ N | nx = 0}
پس Tor دقیقاً عناصرِ پیچشی را ثبت میکند. بهویژه:
Tor1ℤ(ℤ/nℤ,ℤ/mℤ)
≅
ℤ/gcd(m,n)ℤ
۲۶. دنبالهٔ دقیقِ بلند Tor
از هر دنبالهٔ کوتاهِ دقیق
0 → U′ → U → U″ → 0
دنبالهٔ زیر بهدست میآید:
Tor1A(U″,V)
→ U′ ⊗A V
→ U ⊗A V
→ U″ ⊗A V
→ 0
۲۷. معیار تختی
یک A-مدول V تخت است اگر و تنها اگر:
Tor1A(M,V) = 0
برای هر A-مدول M
یعنی مدول تخت، مدولی است که تانسورکردن با آن هیچ شکستِ همولوژیکِ تازهای در سمت چپ ایجاد نمیکند.
۲۸. تختی در ردهٔ گروههای آبلی
برای یک گروه آبلی N، داریم:
N تخت است
⇔
N بدون پیچش است
برای مثال، ℤ و ℚ تختاند؛
اما ℤ/nℤ برای n > 1 تخت نیست.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.