۱۸. تانسور و جمع مستقیم
چون تابعگر
− ⊗A V
مجاورِ چپِ
HomA(V,−)
است، جمعهای مستقیم را حفظ میکند. بنابراین:
(⊕i∈I Ui) ⊗A V
≅
⊕i∈I (Ui ⊗A V)
بهویژه:
(U ⊕ U′) ⊗A V
≅
(U ⊗A V) ⊕ (U′ ⊗A V)
۱۹. تانسور با مدول آزاد
اگر F یک مدول آزاد با پایهٔ
{ei}i∈I
باشد، آنگاه:
F ⊗A V
≅
⊕i∈I V
در حالت خاصِ F = An:
An ⊗A V ≅ Vn
همریختی بنیادیِ زیر نیز همواره برقرار است:
A ⊗A V ≅ V
a ⊗ v ↦ av
۲۰. دقیقبودن از راست
اگر دنبالهٔ زیر دقیق باشد:
U′ → U → U″ → 0
پس از تانسورکردن با V نیز دنبالهٔ زیر دقیق است:
U′ ⊗A V
→
U ⊗A V
→
U″ ⊗A V
→ 0
پس تابعگر − ⊗A V دقیق از راست است.
اما در حالت کلی، نگاشتهای یکبهیک را حفظ نمیکند.
۲۱. نمونهٔ ازدسترفتن یکبهیکی
دنبالهٔ کوتاهِ دقیق زیر را در نظر بگیرید:
0 → ℤ → ℤ → ℤ/nℤ → 0
×n
با تانسورکردن با ℤ/nℤ، نگاشت نخست به ضرب در
n
روی ℤ/nℤ تبدیل میشود؛ ولی این نگاشت صفر است:
ℤ/nℤ ──×n──→ ℤ/nℤ
×n = 0
۲۲. تعریف مدول تخت
یک A-مدول V را تخت مینامیم هرگاه
تانسورکردن با آن، همهٔ دنبالههای کوتاهِ دقیق را دقیق نگه دارد:
0 → U′ → U → U″ → 0
↓ ⊗ V ↓ ⊗ V ↓ ⊗ V
0 → U′ ⊗A V → U ⊗A V → U″ ⊗A V → 0
هر مدول آزاد تخت است و هر مدول پروژکتیو نیز تخت است:
مدول آزاد ⇒ مدول پروژکتیو ⇒ مدول تخت
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.