۱۲. همریختی صریح تانسور ـ همریختی
همریختی اصلی را میتوان بهصورت صریح نوشت. اگر
F : U ⊗A V → W
یک نگاشت خطی باشد، نگاشت متناظر با آن چنین است:
Φ(F) : U → HomA(V,W)
Φ(F)(u)(v) = F(u ⊗ v)
برعکس، اگر
G : U → HomA(V,W)
خطی باشد، نگاشت خطی متناظر از ضرب تانسوری به صورت زیر تعریف میشود:
Ψ(G) : U ⊗A V → W
Ψ(G)(u ⊗ v) = G(u)(v)
۱۳. بررسی وارونبودن دو نگاشت
برای هر
F ∈ HomA(U ⊗A V,W)
و هر تانسور ساده
u ⊗ v
داریم:
Ψ(Φ(F))(u ⊗ v)
= Φ(F)(u)(v)
= F(u ⊗ v)
از آنجا که تانسورهای ساده مولد
U ⊗A V
هستند، نتیجه میشود:
Ψ ∘ Φ = id
همچنین برای هر
G ∈ HomA(U,HomA(V,W))
داریم:
Φ(Ψ(G))(u)(v)
= Ψ(G)(u ⊗ v)
= G(u)(v)
پس:
Φ ∘ Ψ = id
۱۴. فرم نهایی قضیه
HomA(U ⊗A V,W)
≅
HomA(U,HomA(V,W))
این همریختی طبیعی است؛ یعنی با تغییر خطیِ مدولهای
U
و
W
سازگار باقی میماند.
۱۵. تفسیر ردهای: مجاورت
نتیجهٔ بالا را به زبان نظریهٔ ردهها چنین مینویسند:
− ⊗A V ⊣ HomA(V,−)
یعنی تابعگر «ضرب تانسوری با
V»
مجاورِ چپِ تابعگر «همریختی از
V»
است.
۱۶. واحد و همواحد مجاورت
واحد مجاورت، نگاشت طبیعی زیر است:
ηU : U → HomA(V,U ⊗A V)
ηU(u)(v) = u ⊗ v
همواحد مجاورت نیز نگاشت ارزیابی است:
εW : HomA(V,W) ⊗A V → W
εW(f ⊗ v) = f(v)
تانسور، دوخطیّت را به خطیّت میرساند؛
و هم، تانسور را در آینهٔ نگاشتها بازمیتاباند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.