قضیهٔ تانسور ـ همریختی و نگاشتهای دوخطی
هر نگاشت دوخطی، در جهانِ ضرب تانسوری، به یک نگاشت خطی بدل میشود.
۱. فرضهای اولیه
فرض کنید A یک حلقهٔ جابجاییپذیر با عضو واحد باشد و
U، V و W
سه A-مدول باشند.
۲. تعریف نگاشت دوخطی
نگاشت
f : U × V → W
را دوخطی مینامیم، هرگاه نسبت به هر یک از دو متغیر، جداگانه خطی باشد.
یعنی برای همهٔ
u,u′ ∈ U،
v,v′ ∈ V
و
a ∈ A
روابط زیر برقرار باشند:
f(u + u′, v) = f(u,v) + f(u′,v)
f(au,v) = a f(u,v)
f(u, v + v′) = f(u,v) + f(u,v′)
f(u,av) = a f(u,v)
۳. تعریف فضای نگاشتهای خطی
مجموعهٔ همهٔ نگاشتهای خطی از V به W
را با نماد زیر نشان میدهیم:
HomA(V,W)
این مجموعه خود یک A-مدول است. جمع و ضرب اسکالر در آن بهصورت نقطهای تعریف میشوند:
(g + h)(v) = g(v) + h(v)
(ag)(v) = a g(v)
۴. ساخت نگاشت خطی از یک نگاشت دوخطی
فرض کنید
f : U × V → W
یک نگاشت دوخطی باشد.
برای هر u ∈ U، نگاشت
fu : V → W
را بهصورت زیر تعریف میکنیم:
fu(v) = f(u,v)
چون f نسبت به متغیر دوم خطی است، داریم:
fu ∈ HomA(V,W)
اکنون نگاشت زیر را تعریف میکنیم:
f̂ : U → HomA(V,W)
f̂(u) = fu
۵. اثبات خطیبودن f̂
برای u,u′ ∈ U و v ∈ V داریم:
f̂(u + u′)(v)
= f(u + u′,v)
= f(u,v) + f(u′,v)
= f̂(u)(v) + f̂(u′)(v)
پس:
f̂(u + u′) = f̂(u) + f̂(u′)
همچنین برای هر a ∈ A داریم:
f̂(au)(v)
= f(au,v)
= a f(u,v)
= a f̂(u)(v)
بنابراین:
f̂(au) = a f̂(u)
پس f̂ یک نگاشت خطی است.
۶. ساخت نگاشت دوخطی از یک نگاشت خطی
اکنون فرض کنید:
g : U → HomA(V,W)
یک نگاشت خطی باشد. نگاشت زیر را تعریف میکنیم:
g̃ : U × V → W
g̃(u,v) = g(u)(v)
۷. اثبات دوخطیبودن g̃
چون g خطی است:
g̃(u + u′,v)
= g(u + u′)(v)
= (g(u) + g(u′))(v)
= g(u)(v) + g(u′)(v)
= g̃(u,v) + g̃(u′,v)
همچنین:
g̃(au,v)
= g(au)(v)
= (a g(u))(v)
= a g(u)(v)
= a g̃(u,v)
از طرف دیگر، برای هر u ∈ U، نگاشت
g(u)
عضوی از
HomA(V,W)
است؛ بنابراین نسبت به متغیر دوم خطی است:
g̃(u,v + v′)
= g(u)(v + v′)
= g(u)(v) + g(u)(v′)
= g̃(u,v) + g̃(u,v′)
g̃(u,av)
= g(u)(av)
= a g(u)(v)
= a g̃(u,v)
پس g̃ یک نگاشت دوخطی است.
۸. معکوسبودن دو ساخت
اگر از نگاشت دوخطی f شروع کنیم، آنگاه:
g̃(u,v) = f̂(u)(v) = f(u,v)
پس ساخت دوم، نگاشت اولیهٔ f را بازمیگرداند.
همچنین اگر از نگاشت خطی g شروع کنیم، داریم:
f̂(u)(v) = g̃(u,v) = g(u)(v)
پس ساخت اول نیز نگاشت اولیهٔ g را بازمیگرداند.
بنابراین این دو ساخت معکوس یکدیگرند.
۹. نتیجهٔ نخست
BilA(U × V,W)
≅
HomA(U,HomA(V,W))
یعنی مجموعهٔ نگاشتهای دوخطی از U × V به W
با مجموعهٔ نگاشتهای خطی از U به
HomA(V,W)
همریخت است.
۱۰. ارتباط با ضرب تانسوری
بر اساس خاصیت جهانی ضرب تانسوری، برای هر نگاشت دوخطی
f : U × V → W
یک و تنها یک نگاشت خطی
f̄ : U ⊗A V → W
وجود دارد که:
f̄(u ⊗ v) = f(u,v)
در نتیجه:
BilA(U × V,W)
≅
HomA(U ⊗A V,W)
با ترکیب دو نتیجهٔ بالا، به همریختی طبیعی زیر میرسیم:
HomA(U ⊗A V,W)
≅
HomA(U,HomA(V,W))
۱۱. جمعبندی
ضرب تانسوری، سازهای است که نگاشتهای دوخطی را به نگاشتهای خطی تبدیل میکند.
از یک سو، هر نگاشت دوخطی
f : U × V → W
به یک نگاشت خطی
f̄ : U ⊗A V → W
منجر میشود؛
و از سوی دیگر، همین نگاشت دوخطی را میتوان به صورت یک نگاشت خطی از
U
به فضای نگاشتهای خطی از
V
به
W
دید.
ضرب تانسوری، زبان خطیِ دوخطیبودن است؛
و خاصیت جهانی آن، یکتاییِ این ترجمه را تضمین میکند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.