ساخت و خاصیت جهانیِ ضرب تانسوریِ مدولها
«از جمعِ زوجها، مدولی زاده میشود؛
و از خاموشکردنِ روابط، جهانی برپا میگردد.»
۱. مقدمه
در جبر مجرد، یکی از مهمترین سازهها ضرب تانسوری است.
هدف از تعریف آن این است که هر نگاشت دوخطی را به یک نگاشت خطی تبدیل کنیم.
برای این کار، ابتدا از همهٔ زوجهای (u,v) یک مدول آزاد میسازیم،
سپس روابط لازم برای دوخطیبودن را بر آن تحمیل میکنیم.
۲. مدول آزاد روی مجموعهٔ زوجها
فرض کنید K یک حلقهٔ جابجاییپذیر با واحد باشد و
U و V دو K-مدول باشند.
مدول آزادی روی مجموعهٔ U×V در نظر میگیریم و آن را با F نشان میدهیم.
F = free K-module on U×V
یعنی هر عنصر F یک مجموع خطی متناهی از نمادهای (u,v) است:
a1(u1,v1) + a2(u2,v2) + ... + an(un,vn)
۳. روابط لازم برای دوخطیبودن
برای آنکه نماد نهایی نسبت به هر دو متغیر خطی باشد، روابط زیر را در نظر میگیریم:
(u+u',v) - (u,v) - (u',v)
(u,v+v') - (u,v) - (u,v')
(au,v) - a(u,v)
(u,av) - a(u,v)
زیرمدولی از F که به وسیلهٔ همهٔ این عناصر تولید میشود را با B نشان میدهیم.
۴. تعریف ضرب تانسوری
اکنون ضرب تانسوریِ U و V را چنین تعریف میکنیم:
U⊗KV = F / B
کلاس همارزیِ (u,v) در خارجقسمت F/B را با نماد
u⊗v نشان میدهیم:
u⊗v = (u,v) + B
۵. نگاشت طبیعی
نگاشت طبیعی زیر را تعریف میکنیم:
τ : U×V → U⊗KV
τ(u,v) = u⊗v
این نگاشت دوخطی است، زیرا در خارجقسمت F/B تمام روابط لازم برای جمع و ضرب اسکالر برقرار شدهاند.
(u+u')⊗v = u⊗v + u'⊗v
u⊗(v+v') = u⊗v + u⊗v'
(au)⊗v = a(u⊗v)
u⊗(av) = a(u⊗v)
۶. قضیهٔ خاصیت جهانی
قضیه.
اگر W یک K-مدول باشد و
f : U×V → W یک نگاشت دوخطی باشد،
آنگاه یک و تنها یک همریختی خطی
f~ : U⊗KV → W
وجود دارد به طوری که
f~(u⊗v) = f(u,v)
۷. برهان قضیه
گام اول: ساخت نگاشت خطی از مدول آزاد
چون F مدول آزاد روی مجموعهٔ U×V است،
نگاشت f به طور یکتا به یک نگاشت خطی
f0 : F → W
گسترش مییابد، به طوری که:
f0((u,v)) = f(u,v)
گام دوم: نشان میدهیم B در هستهٔ f0 قرار دارد
چون f دوخطی است، تصاویر مولدهای B تحت f0 صفر میشوند:
f0((u+u',v) - (u,v) - (u',v)) = 0
f0((u,v+v') - (u,v) - (u,v')) = 0
f0((au,v) - a(u,v)) = 0
f0((u,av) - a(u,v)) = 0
پس:
B ⊆ ker(f0)
گام سوم: القای نگاشت بر خارجقسمت
بنابراین نگاشت f0 از خارجقسمت عبور میکند و یک نگاشت خطی یکتا
f~ : F/B → W
به دست میآید که برای هر x ∈ F داریم:
f~(x + B) = f0(x)
بهویژه:
f~(u⊗v) = f(u,v)
گام چهارم: یکتایی
چون عناصر U⊗KV به وسیلهٔ تانسورهای سادهٔ
u⊗v تولید میشوند،
هر همریختی خطی که روی این مولدها معلوم باشد، روی کل مدول تعیین میشود.
پس نگاشت f~ یکتا است.
۸. نتیجهٔ اصلی
بنابراین میان نگاشتهای دوخطی و همریختیهای خطی تناظر طبیعی برقرار است:
BilK(U×V, W) ≅ HomK(U⊗KV, W)
این همان معنای دقیقِ خاصیت جهانیِ ضرب تانسوری است.
۹. جمعبندی
پس ضرب تانسوری از خارجقسمتِ یک مدول آزاد نسبت به روابط دوخطیبودن ساخته میشود،
و اهمیت اصلی آن در این است که هر نگاشت دوخطی را به یک نگاشت خطی یکتا تبدیل میکند.
ضرب تانسوری، خانهای است که در آن
دوخطیبودن، جامهٔ خطیبودن میپوشد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.