ساخت و خاصیت جهانیِ ضرب تانسوریِ مدول‌ها

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و نهم مرداد ۱۴۰۵ | 19:26

ساخت و خاصیت جهانیِ ضرب تانسوریِ مدول‌ها

«ضرب تانسوری، دوخطی‌بودن را در قالب خطیِ یک مدول آشکار می‌کند؛

و از روابطِ محلی، جهانی به نامِ تانسور می‌سازد.»

۱. فرض‌های اولیه

فرض کنید K یک حلقهٔ جابجایی‌پذیر با واحد،
و U و V دو
K-مدول باشند.
می‌خواهیم مدولی بسازیم که عناصر آن به صورت نمادهایی از شکل

u ⊗ v

باشند و روابط خطی‌بودن نسبت به هر یک از دو متغیر را ارضا کنند.

برای این منظور، ابتدا یک K-مدول آزاد روی مجموعهٔ
U×V در نظر می‌گیریم. این مدول را با
F نشان می‌دهیم:

F = K^(U×V)

اعضای F ترکیب‌های خطی متناهی از نمادهای
(u,v) هستند. بنابراین هر عنصر F
به صورت زیر نوشته می‌شود:

∑_i=1ⁿ a_i(u_i,v_i)

a_i∈K

۲. روابط لازم برای دوخطی‌بودن

برای آن‌که نماد u⊗v نسبت به هر دو متغیر خطی باشد،
باید روابط زیر را در نظر بگیریم.

رابطهٔ جمع در عامل اول

(u+u',v) - (u,v) - (u',v)

u,u'∈U,\quad v∈V

رابطهٔ جمع در عامل دوم

(u,v+v') - (u,v) - (u,v')

u∈U,\quad v,v'∈V

رابطهٔ ضرب اسکالر در عامل اول

(au,v) - a(u,v)

a∈K,\quad u∈U,\quad v∈V

رابطهٔ انتقال اسکالر میان دو عامل

(u,av) - a(u,v)

a∈K,\quad u∈U,\quad v∈V

در رابطهٔ آخر، اسکالر a می‌تواند از عامل دوم به ضریب بیرون منتقل شود.
در نتیجه، در خارج‌قسمت خواهیم داشت:

au⊗v = u⊗av = a(u⊗v)

۳. تعریف زیرمدولِ روابط

زیرمدولِ B⊆F را زیرمدولی تعریف می‌کنیم که به وسیلهٔ تمام عناصر بالا تولید می‌شود:

B =
&leftangle;

(u+u',v)-(u,v)-(u',v),

(u,v+v')-(u,v)-(u,v'),

(au,v)-a(u,v),

(u,av)-a(u,v)

&rightangle;

در این‌جا زاویه‌ها نشان‌دهندهٔ زیرمدول تولیدشده توسط تمام عناصر مذکور هستند؛
یعنی هر ترکیب خطی متناهی از این روابط در B قرار دارد.

۴. تعریف ضرب تانسوری

تعریف.
ضرب تانسوریِ U و V روی
K را خارج‌قسمت زیر تعریف می‌کنیم:

U⊗_KV := F/B

کلاس هم‌ارزیِ (u,v)∈F در خارج‌قسمت
F/B را با نماد زیر نشان می‌دهیم:

u⊗v := (u,v)+B

نگاشت طبیعیِ حاصل از این خارج‌قسمت را با
τ نمایش می‌دهیم:

τ:U×V⟶U⊗_KV

τ(u,v)=u⊗v

۵. لم: نگاشت طبیعی دوخطی است

لم.
نگاشت
τ(u,v)=u⊗v
نسبت به هر دو متغیر، K-خطی است.

اثبات خطی‌بودن نسبت به عامل اول

از تعریف زیرمدول B داریم:

(u+u',v)-(u,v)-(u',v)∈B

پس در خارج‌قسمت F/B، این عنصر صفر است و بنابراین:

(u+u')⊗v
=
u⊗v+u'⊗v

همچنین از رابطهٔ اسکالری:

(au,v)-a(u,v)∈B

نتیجه می‌شود:

(au)⊗v=a(u⊗v)

اثبات خطی‌بودن نسبت به عامل دوم

به طور مشابه، چون:

(u,v+v')-(u,v)-(u,v')∈B

داریم:

u⊗(v+v')
=
u⊗v+u⊗v'

و از رابطهٔ مربوط به اسکالر در عامل دوم:

(u,av)-a(u,v)∈B

نتیجه می‌شود:

u⊗(av)=a(u⊗v)

پس نگاشت τ دوخطی است.

۶. قضیهٔ خاصیت جهانی ضرب تانسوری

قضیه.
فرض کنید W یک K-مدول باشد و
f:U×V→W نگاشتی دوخطی باشد.
آنگاه یک و تنها یک همریختی K-خطی
f̃:U⊗_KV→W
وجود دارد به طوری که:

f̃(u⊗v)=f(u,v)

اثبات: ساخت همریختی

چون f دوخطی است، برای هر یک از روابط تولیدکنندهٔ
B، تصویر آن تحت نگاشت خطیِ القاشده صفر می‌شود.
ابتدا نگاشت خطی

f₀:F→W

را روی مولدهای F به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

f₀((u,v))=f(u,v)

به دلیل آزاد بودن F، این تعریف به طور یکتا به یک نگاشت
K-خطی روی کل F گسترش می‌یابد.

صفرشدن روابط

اکنون نشان می‌دهیم که B⊆ker(f₀).
برای رابطهٔ جمع در عامل اول داریم:

f₀((u+u',v)-(u,v)-(u',v))
=
f(u+u',v)-f(u,v)-f(u',v)

چون f نسبت به عامل اول خطی است، عبارت بالا برابر صفر است:

f₀((u+u',v)-(u,v)-(u',v))=0

برای رابطهٔ جمع در عامل دوم نیز داریم:

f₀((u,v+v')-(u,v)-(u,v'))
=
f(u,v+v')-f(u,v)-f(u,v')
=0

برای رابطهٔ مربوط به اسکالر در عامل اول:

f₀((au,v)-a(u,v))
=
f(au,v)-af(u,v)
=0

و برای رابطهٔ انتقال اسکالر میان دو عامل:

f₀((u,av)-a(u,v))
=
f(u,av)-af(u,v)
=0

بنابراین همهٔ مولدهای B در هستهٔ
f₀ قرار دارند؛ پس:

B⊆ker(f₀)

عبور از خارج‌قسمت

از آن‌جا که B⊆ker(f₀)،
قضیهٔ استانداردِ همریختیِ خارج‌قسمت‌ها تضمین می‌کند که یک نگاشت یکتا

f̃:F/B→W

وجود دارد به طوری که:

f̃(x+B)=f₀(x)

چون U⊗_KV=F/B، برای مولدهای تانسوری داریم:

f̃(u⊗v)
=
f̃((u,v)+B)
=
f₀((u,v))
=
f(u,v)

بنابراین همریختی مورد نظر وجود دارد.

اثبات یکتایی

فرض کنید g:U⊗_KV→W
همریختی خطی دیگری باشد که:

g(u⊗v)=f(u,v)

هر عنصر ضرب تانسوری ترکیب خطی متناهی از تانسورهای ساده است؛ یعنی:

x=∑_i=1ⁿ a_i(u_i⊗v_i)

بنابراین:

g(x)
=
∑_i=1ⁿ
a_ig(u_i⊗v_i)
=
∑_i=1ⁿ
a_if(u_i,v_i)
=
f̃(x)

پس g=f̃ و همریختیِ ساخته‌شده یکتا است.
در نتیجه قضیه ثابت شد.

۷. نتیجهٔ مهم

خاصیت جهانی را می‌توان به صورت یک تناظر طبیعی نیز نوشت:

Bil_K(U×V,W)
≅
Hom_K(U⊗_KV,W)

این تناظر به هر نگاشت دوخطی
f:U×V→W
یک نگاشت خطی یکتا
f̃:U⊗_KV→W
نسبت می‌دهد.

۸. فرمول‌های بنیادی در ضرب تانسوری

(u+u')⊗v=u⊗v+u'⊗v

u⊗(v+v')=u⊗v+u⊗v'

(au)⊗v=u⊗(av)=a(u⊗v)

اما باید توجه داشت که هر عنصر ضرب تانسوری الزاماً به صورت یک تانسور ساده
u⊗v نیست؛ بلکه به طور کلی به شکل جمعی از تانسورهای ساده ظاهر می‌شود:

x=∑_i=1ⁿ u_i⊗v_i

۹. جمع‌بندی مفهومی

ضرب تانسوری از یک ایدهٔ ساده اما عمیق پدید می‌آید:
می‌خواهیم نمادهایی بسازیم که در هر یک از دو ورودی خطی باشند.
برای این کار، مدول آزاد روی زوج‌های
(u,v)
را تشکیل می‌دهیم و سپس روابطی را که مانع دوخطی‌بودن هستند،
صفر می‌کنیم.

حاصل این خارج‌قسمت، مدول
U⊗_KV
است و نگاشت طبیعی
(u,v)↦u⊗v
دارای خاصیت جهانی است.
به همین سبب، هر نگاشت دوخطی از ضرب دکارتی
U×V
به یک نگاشت خطی از ضرب تانسوری تبدیل می‌شود.

ضرب تانسوری، آزادترین مدولی است که در آن

جمع و انتقال اسکالر میان دو عامل،

دقیقاً مطابق قوانین دوخطی‌بودن رفتار می‌کنند.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی