ضرب تانسوریِ مدولها
«تانسور، دو خط را در یک ساختارِ خطی گرد میآورد؛
تا آنچه در دو متغیر دوخطی بود، در یک متغیر خطی شود.»
۱. مقدمات
فرض کنید R یک حلقهٔ جابجاییپذیر با واحد،
و M و N دو
R-مدول باشند. هدف، ساختن مدولی است که
رفتارهای جمعی و اسکالرگیریِ دو عامل را همزمان حفظ کند.
این مدول را با نماد زیر نمایش میدهیم:
M ⊗R N
۲. نمادهای تانسوری و روابط بنیادی
عناصر ضرب تانسوری از نمادهایی به شکل
m ⊗ n ساخته میشوند؛
ولی این نمادها آزاد نیستند، بلکه باید روابط دوخطی بودن را ارضا کنند.
برای هر
m,m' ∈ M،
n,n' ∈ N
و r ∈ R داریم:
(m+m') ⊗ n = m ⊗ n + m' ⊗ n
m ⊗ (n+n') = m ⊗ n + m ⊗ n'
(rm) ⊗ n = m ⊗ (rn)
رابطهٔ سوم بسیار مهم است: اسکالر r را میتوان
از عامل اول به عامل دوم منتقل کرد. پس در ضرب تانسوری تفاوتی میان
rm ⊗ n
و
m ⊗ rn
وجود ندارد.
۳. ساخت دقیق ضرب تانسوری
ابتدا گروه آبلی آزاد روی مجموعهٔ
M × N
را در نظر میگیریم:
Z[M × N]
سپس زیرگروهی را که از روابط دوخطی بودن تولید میشود خارجقسمت میگیریم.
بنابراین:
M ⊗R N
=
Z[M × N] / H
که H زیرگروه تولیدشده از عناصر زیر است:
(m+m',n) - (m,n) - (m',n)
(m,n+n') - (m,n) - (m,n')
(rm,n) - (m,rn)
کلاس همارزیِ زوج (m,n) را با
m ⊗ n نمایش میدهیم.
توجه شود که هر عنصرِ ضرب تانسوری لزوماً یک تانسورِ ساده نیست؛
به طور کلی عنصری از شکل زیر است:
∑i=1k mi ⊗ ni
۴. خاصیت جهانی
معنای مفهومیِ ضرب تانسوری در خاصیت جهانی آن آشکار میشود.
اگر P یک R-مدول و
نگاشت
f : M × N → P
دوخطی باشد، یعنی نسبت به هر متغیر جداگانه خطی باشد،
آنگاه یک و تنها یک همریختی خطی وجود دارد:
f̃ : M ⊗R N → P
به طوری که:
f̃(m ⊗ n) = f(m,n)
در نتیجه، میان نگاشتهای دوخطی و همریختیهای خطی تناظر طبیعی وجود دارد:
BilR(M × N,P)
≅
HomR(M ⊗R N,P)
پس ضرب تانسوری، دستگاهی است که مسئلهٔ «دوخطی» را به مسئلهٔ «خطی» تبدیل میکند.
۵. مثال اول: تانسور کردن با خود حلقه
حلقهٔ R را به عنوان یک
R-مدول در نظر بگیرید. آنگاه:
R ⊗R M ≅ M
همریختی طبیعی با فرمول زیر داده میشود:
r ⊗ m ⟼ rm
و نگاشت وارون آن چنین است:
m ⟼ 1 ⊗ m
۶. مثال دوم: مدولهای خارجقسمتی بر روی Z
برای دو عدد صحیح مثبت m,n داریم:
Z/mZ ⊗Z Z/nZ
≅
Z/gcd(m,n)Z
برای مثال:
Z/6Z ⊗Z Z/15Z
≅
Z/3Z
زیرا:
gcd(6,15)=3
۷. نکتههای مهم
در حالت کلی، m ⊗ n = 0 لزوماً به معنای
m=0 یا n=0 نیست.
هر عنصر از M ⊗R N ممکن است جمعی از چند تانسور ساده باشد.
اگر M و N آزاد باشند، محاسبهٔ ضرب تانسوری سادهتر است.
اگر M یک R-مدول آزاد با پایهٔ
{ei} باشد، آنگاه
M ⊗R N
از عناصر ei ⊗ n ساخته میشود.
۸. جمعبندی
ضرب تانسوریِ M ⊗R N،
مدولی است که روابط دوخطی را در ذات خود جای میدهد.
هر نگاشت دوخطی از M × N،
به طور یکتا از یک نگاشت خطی روی
M ⊗R N
عبور میکند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.