محور این صفحه، ساختار خارجقسمتیِ حاصل از رابطهٔ همارزیِ «موافق بودن دو تابع در یک همسایگی» و ارتباط آن با مفهوم **موازیسازیِ موضعی** است.
```html
ساختارهای خارجقسمتی و موضعیسازی
از همارزیِ محلی، جهانی از کلاسها پدید میآید؛
و از آن، زبانِ دقیقِ موضعیسازی.
۱. تعریف رابطهٔ همارزی
فرض کنید X یک مجموعه، و A یک مجموعه یا حلقه باشد.
مجموعهٔ توابع از X به A را با نماد زیر نشان میدهیم:
AX = { f | f : X → A }
روی مجموعهٔ توابع، رابطهای به صورت زیر تعریف میکنیم:
برای دو تابع f,g : X → A میگوییم
f و g همارزند، هرگاه در ناحیهای مشخص، مانند
U × V، با یکدیگر توافق داشته باشند.
f ∼ g
⟺
∃ U,V
\quad
f|U×V = g|U×V
به بیان دقیقتر، رابطهٔ همارزی باید با توجه به خانوادهٔ نواحی مجاز تعریف شود.
اگر این خانواده شامل همسایگیهای مناسب از نقطه یا زیرمجموعهٔ مورد نظر باشد،
آنگاه رابطه، مفهوم «برابری موضعی» را بیان میکند.
۲. قضیه: رابطهٔ فوق یک رابطهٔ همارزی است
برای آنکه نشان دهیم ∼ رابطهٔ همارزی است،
باید سه ویژگی بازتابی، تقارنی و تعدی را بررسی کنیم.
الف) بازتابی بودن
برای هر تابع f و هر ناحیهٔ مجاز U×V بدیهی است:
f|U×V = f|U×V
بنابراین f ∼ f.
ب) تقارنی بودن
اگر f ∼ g باشد، ناحیهای مانند
U×V وجود دارد که:
f|U×V = g|U×V
برابری توابع متقارن است؛ پس:
g|U×V = f|U×V
در نتیجه g ∼ f.
ج) تعدی بودن
فرض کنید f ∼ g و g ∼ h.
بنابراین نواحی مجازی مانند U1×V1
و U2×V2 وجود دارند که:
f|U1×V1
=
g|U1×V1
g|U2×V2
=
h|U2×V2
روی اشتراک دو ناحیه، یعنی:
(U1∩U2)×(V1∩V2)
هر دو برابری برقرارند. بنابراین:
f|(U1∩U2)×(V1∩V2)
=
h|(U1∩U2)×(V1∩V2)
پس f ∼ h و رابطهٔ مورد نظر تعدی است.
بنابراین ∼ یک رابطهٔ همارزی است.
۳. تعریف کلاس همارزی
برای تابع f، کلاس همارزی آن را به صورت زیر تعریف میکنیم:
[f] = { g | g ∼ f }
یعنی [f] شامل تمام توابعی است که از دیدگاه موضعی،
با f یکساناند.
مجموعهٔ خارجقسمتی را با نماد زیر نمایش میدهیم:
AX / ∼
۴. تعریف موضعیسازی
اکنون حالت حلقهای را در نظر میگیریم. فرض کنید A یک حلقهٔ جابجاییپذیر
و S ⊆ A یک زیرمجموعهٔ بسته نسبت به ضرب باشد:
1 ∈ S
s,t ∈ S ⟹ st ∈ S
روی مجموعهٔ A×S رابطهٔ زیر را تعریف میکنیم:
(a,s) ∼ (b,t)
⟺
∃ u ∈ S :
u(at-bs)=0
توجه کنید که عبارت at-bs همان شرط طبیعی برای برابر بودن دو کسر
a/s و b/t است.
۵. قضیه: رابطهٔ موضعیسازی یک رابطهٔ همارزی است
الف) بازتابی بودن
برای هر (a,s)∈A×S داریم:
a s - s a = 0
با انتخاب u=1 نتیجه میشود:
1(as-sa)=0
پس (a,s)∼(a,s).
ب) تقارنی بودن
اگر:
u(at-bs)=0
آنگاه:
u(bs-at)= -u(at-bs)=0
بنابراین (b,t)∼(a,s).
ج) تعدی بودن
فرض کنید:
(a,s)∼(b,t)
(b,t)∼(c,v)
پس عناصری u,w∈S وجود دارند که:
u(at-bs)=0
w(bv-ct)=0
رابطهٔ اول را در wv و رابطهٔ دوم را در us ضرب میکنیم:
uwv(at-bs)=0
wus(bv-ct)=0
با جمع مناسب این دو رابطه داریم:
uw(atv-cs)=0
چون uw∈S، نتیجه میشود:
(a,s)∼(c,v)
پس رابطهٔ موضعیسازی یک رابطهٔ همارزی است.
۶. تعریف حلقهٔ موضعیسازیشده
مجموعهٔ کلاسهای همارزی را با نماد زیر تعریف میکنیم:
S-1A = (A×S)/∼
کلاس زوج (a,s) را با نماد کسرگونهٔ
a/s
مینویسیم.
جمع و ضرب به صورت زیر تعریف میشوند:
a/s + b/t = (at+bs)/(st)
(a/s)(b/t) = ab/(st)
۷. قضیهٔ اصلی: ساختار حلقهای
با تعریفهای بالا، مجموعهٔ S-1A یک حلقهٔ جابجاییپذیر است.
خوشتعریف بودن جمع
فرض کنید:
a/s = a'/s'
b/t = b'/t'
مطابق تعریف، عناصری از S وجود دارند که اختلافهای متناظر را صفر میکنند.
با ضرب کردن این عناصر در یکدیگر، نتیجه میشود:
(at+bs)/(st) = (a't'+b's')/(s't')
بنابراین تعریف جمع مستقل از نمایندههاست.
برای ضرب نیز دقیقاً همین استدلال، با استفاده از:
ab · s't' - a'b' · st
به کار میرود و ضرب نیز خوشتعریف است.
عضو صفر و عضو یک
0 = 0/1
1 = 1/1
برای هر a/s داریم:
a/s + 0/1 = a/s
(a/s)(1/1)=a/s
قرینهٔ جمعی
-(a/s)=(-a)/s
زیرا:
a/s + (-a)/s = (as-sa)/s2 = 0/s2 = 0
شرکتپذیری و جابجایی
شرکتپذیری و جابجایی جمع و ضرب از شرکتپذیری و جابجایی عملیات در A
و از شرکتپذیری و جابجایی ضرب در S نتیجه میشود.
برای نمونه:
(a/s + b/t) + c/v
=
(atv+bsv+csv)/(stv)
=
a/s + (b/t+c/v)
بنابراین S-1A یک حلقه است.
۸. حالت مهم: موضعیسازی در ایدهآل اول
اگر p یک ایدهآل اول در A باشد، مجموعهٔ
S = A ∖ p
نسبت به ضرب بسته است؛ زیرا اگر s,t∉p ولی
st∈p باشد، از اول بودن p
نتیجه میشود s∈p یا t∈p،
که تناقض است.
در این حالت موضعیسازی را با نماد زیر مینویسیم:
Ap = (A ∖ p)-1A
عناصر Ap کسرهایی از شکل
a/s هستند که در آن s∉p.
این دقیقاً یعنی مخرج در نقطهٔ p قابل وارونسازی است.
۹. ارتباط با حلقهٔ موضعیِ یک بافه
اگر X=Spec(A) و p نقطهای از X باشد،
حلقهٔ موضعیِ بافهٔ ساختاری در p شامل جوانههای بخشهایی است که
فقط در یک همسایگی از p تعریف شدهاند.
هر بخش روی باز اصلی D(s)، با s∉p،
به یک کسر از شکل زیر متناظر است:
a/sn
از این رو نگاشت طبیعی زیر را داریم:
Φ : Ap → OX,p
Φ(a/s) = [a/s]p
۱۰. قضیهٔ همریختی
قضیه.
برای X=Spec(A) و هر
p∈Spec(A) داریم:
OX,p ≅ Ap
برهان
نگاشت Φ را همانگونه که در بالا تعریف کردیم:
Φ(a/s)=[a/s]p
خوشتعریف بودن:
اگر دو کسر در Ap برابر باشند، شرط برابری آنها میگوید
عنصری خارج از p وجود دارد که اختلاف دو کسر را در معنای جبری صفر میکند.
همین عنصر، همسایگیای از p میسازد که در آن دو بخش برابرند؛
پس جوانههای آنها برابر است.
همریختی:
از تعریف عملیات روی کسرها و جوانهها داریم:
Φ(a/s+b/t)
=
[(at+bs)/(st)]p
=
[a/s]p+[b/t]p
Φ((a/s)(b/t))
=
[ab/(st)]p
=
[a/s]p[b/t]p
همچنین Φ(1)=1؛ پس Φ همریختی حلقهای است.
پوشا بودن:
هر جوانه در OX,p با یک بخش منظم روی همسایگیای از
p نمایش داده میشود.
با انتخاب یک باز اصلی D(s) در آن همسایگی،
این بخش به صورت یک کسر a/sn نوشته میشود.
بنابراین هر جوانه در تصویر Φ قرار دارد.
یکبهیک بودن:
فرض کنید Φ(a/s)=Φ(b/t).
آنگاه دو جوانه برابرند؛ پس دو بخش
a/s و b/t
در همسایگیای از p برابرند.
بنابراین عنصری u∉p وجود دارد که:
u(at-bs)=0
این دقیقاً شرط برابری دو عنصر در Ap است؛
پس a/s=b/t.
بنابراین Φ یکبهیک است.
پس Φ همریختیای دوسویی است و نتیجه میگیریم:
OX,p ≅ Ap
قضیه ثابت شد.
۱۱. جمعبندی نهایی
- رابطهٔ همارزی، برابریِ موضعی را به یک ساختار خارجقسمتی تبدیل میکند.
- موضعیسازی، کسرهایی را میسازد که مخرجهایشان در ناحیهٔ مورد مطالعه وارونپذیرند.
- اگر موضعیسازی در ایدهآل اول p انجام شود، مخرجها دقیقاً عناصر خارج از p هستند.
- حلقهٔ موضعیِ بافهٔ ساختاری، صورت هندسیِ همین موضعیسازی جبری است.
بافه، زبان اتصالِ جزء به کل است؛
حلقهٔ موضعی، دفترِ جهانِ کوچکِ یک نقطه است؛
و موضعیسازی، گذر از جهانِ کلیِ حلقه به حقیقتِ نزدیکِ نقطه است.
```
**نکتهٔ فنی:** در بخش مربوط به موضعیسازی، شرط درستِ همارزی به صورت
```text
(a,s) ~ (b,t) iff وجود u در S بهطوریکه u(at-bs)=0
```
است. همچنین برای موضعیسازی در ایدهآل اول، مجموعهٔ مخرجها برابر است با:
```text
S = A \ p
```
و بنابراین:
```text
A_p = (A \ p)^(-1)A
```
که با حلقهٔ موضعیِ جوانهها در فضای طیف متناظر است:
```text
O_{Spec(A),p} ≅ A_p
```
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.