تعاریف و قضایای بنیادی بافهها، جوانهها و حلقههای موضعی
«بافه، پیوندِ دادههای محلی با جهانِ سراسری است؛
و حلقهٔ موضعی، صورتِ جبریِ رفتارِ فضا در نزدیکیِ یک نقطه.»
۱. فضای توپولوژیک و پوشش باز
یک فضای توپولوژیک زوجی به صورت
X = (X, τ)
است که در آن
X
یک مجموعه و
τ
خانوادهای از زیرمجموعههای
X
است که شرایط زیر را برآورده میکند:
مجموعههای تهی و کل فضا در
τ
قرار دارند:
∅, X ∈ τ.
اجتماع هر خانواده از مجموعههای باز، باز است.
اشتراک متناهی مجموعههای باز، باز است.
اگر
U ⊆ X
باز باشد، خانوادهٔ مجموعههای باز
{Ui}
را یک پوشش باز برای
U
مینامیم هرگاه:
U = ⋃i Ui
۲. تعریف پیشبافه
فرض کنید
X
یک فضای توپولوژیک باشد. یک
پیشبافه
F
روی
X
شامل دادههای زیر است:
برای هر مجموعهٔ باز
U ⊆ X
یک مجموعه
F(U)
در نظر گرفته میشود.
عناصر این مجموعه را
بخشهای روی U
مینامیم.
برای هر دو مجموعهٔ باز
V ⊆ U
یک نگاشت محدودسازی وجود دارد:
ρU,V : F(U) → F(V)
تصویر بخش
s ∈ F(U)
تحت این نگاشت معمولاً به صورت زیر نوشته میشود:
ρU,V(s) = s|V
۳. اصول سازگاری پیشبافه
اصل نخست: محدودسازی به خود
برای هر مجموعهٔ باز
U
داریم:
ρU,U = idF(U)
یعنی محدودسازی یک بخش از
U
به خود
U
همان بخش را بازمیگرداند.
اصل دوم: سازگاری ترکیبی
اگر
W ⊆ V ⊆ U
باشد، باید داشته باشیم:
ρU,W
=
ρV,W ∘ ρU,V
اثبات سازگاری ترکیبی
عنصری دلخواه
s ∈ F(U)
را در نظر میگیریم. از تعریف محدودسازی داریم:
ρU,W(s)=s|W
از سوی دیگر، اگر ابتدا
s
را به
V
و سپس به
W
محدود کنیم، خواهیم داشت:
(ρV,W ∘ ρU,V)(s)
=
ρV,W(s|V)
=
(s|V)|W
=
s|W
بنابراین دو طرف رابطه روی هر
s ∈ F(U)
مقدار یکسان دارند. پس:
ρU,W
=
ρV,W ∘ ρU,V
۴. تعریف بافه
پیشبافهٔ
F
را بافه مینامیم، هرگاه برای هر مجموعهٔ باز
U
و هر پوشش باز
U = ⋃i Ui
دو اصل جداسازی و چسباندن برقرار باشند.
اصل جداسازی
اگر
s,t ∈ F(U)
باشند و برای هر
i
داشته باشیم:
s|Ui
=
t|Ui
آنگاه:
s=t
این اصل میگوید یک بخش سراسری از روی محدودسازیهایش روی یک پوشش باز، به طور یکتا تعیین میشود.
اصل چسباندن
فرض کنید برای هر
i
بخشی
si ∈ F(Ui)
داده شده باشد و این بخشها روی اشتراکها سازگار باشند؛ یعنی:
si|Ui∩Uj
=
sj|Ui∩Uj
آنگاه بخش یکتایی
s ∈ F(U)
وجود دارد که:
s|Ui = si
برای هر i
۵. مثال: بافهٔ توابع پیوسته
برای هر مجموعهٔ باز
U ⊆ X
مجموعهٔ توابع پیوسته از
U
به
R
را در نظر بگیرید:
C(U)= { f : U → R | f continuous }
اگر
V ⊆ U
باشد، محدودسازی طبیعی است:
ρU,V(f)=f|V
اثبات اصل چسباندن
فرض کنید
U = ⋃iUi
و برای هر
i
تابع پیوستهٔ
fi:Ui→R
داده شده باشد؛ به طوری که:
fi|Ui∩Uj
=
fj|Ui∩Uj
تابع
f:U→R
را به صورت زیر تعریف میکنیم:
f(x)=fi(x)
هرگاه
x∈Ui
این تعریف خوشتعریف است؛ زیرا اگر
x ∈ Ui∩Uj
باشد، شرط سازگاری نتیجه میدهد:
fi(x)=fj(x)
برای اثبات پیوستگی، کافی است آن را به طور موضعی بررسی کنیم. برای هر
i
داریم:
f|Ui=fi
چون همهٔ
fi
پیوستهاند و پیوستگی خاصیتی موضعی است، تابع
f
پیوسته است.
یکتایی نیز از اصل جداسازی نتیجه میشود؛ زیرا هر تابع دیگری با همین محدودسازیها، روی هر
Ui
با
f
برابر است و بنابراین روی کل
U
برابر خواهد بود.
پس
C
یک بافه است.
۶. مجموعههای باز اصلی در فضای طیف
برای یک حلقهٔ جابجاییدار واحددار
A
فضای طیف را به صورت زیر تعریف میکنیم:
Spec(A)= { p ⊆ A | p prime ideal }
برای هر
f∈A
مجموعهٔ باز اصلی را تعریف میکنیم:
D(f)= { p∈Spec(A) | f∉p }
قضیه: مجموعههای D(f) پایهٔ توپولوژی زاریسکیاند
برای اثبات، کافی است نشان دهیم:
D(1)=Spec(A).
D(0)=∅.
اشتراک دو باز اصلی، باز اصلی است.
اثبات رابطهٔ D(fg)=D(f)∩D(g)
نقطهای دلخواه
p∈Spec(A)
را در نظر بگیرید. داریم:
p∈D(fg)
⇔
fg∉p
چون
p
ایدهآل اول است، از تعریف ایدهآل اول داریم:
fg∈p ⇒ f∈p یا g∈p
صورت نقیض این گزاره چنین است:
fg∉p ⇔ f∉p و g∉p
بنابراین:
p∈D(fg)
⇔
p∈D(f)∩D(g)
چون این همارزی برای هر
p
برقرار است، نتیجه میگیریم:
D(fg)=D(f)∩D(g)
۷. بافهٔ ساختاری روی Spec(A)
روی فضای
X=Spec(A)
بافهای به نام بافهٔ ساختاری
تعریف میکنیم. مقدار این بافه روی باز اصلی
D(f)
برابر است با:
OX(D(f))=Af
در اینجا
Af
موضعیسازی
A
نسبت به مجموعهٔ ضربی
{1,f,f2,…}
است. عناصر آن به صورت کسرهای زیر هستند:
a/fn
با
a∈A,\;n≥0
اگر
D(g)⊆D(f)
باشد، محدودسازی متناظر با نگاشت طبیعی:
Af → Ag
است که هر کسر را به همان کسر، اکنون در حلقهای بزرگتر، میفرستد.
۸. تعریف جوانهٔ یک بخش
نقطهای
p∈X
و زوجی
(U,s)
را در نظر بگیرید که:
p∈U,\qquad s∈F(U)
دو زوج
(U,s)
و
(V,t)
را در نقطهٔ
p
معادل مینامیم، هرگاه مجموعهٔ باز
W
وجود داشته باشد به طوری که:
p∈W⊆U∩V
s|W=t|W
کلاس همارزی زوج
(U,s)
را جوانهٔ بخش s در نقطهٔ p
مینامیم و با نماد زیر نشان میدهیم:
sp یا [s]p
۹. حلقهٔ موضعی در یک نقطه
مجموعهٔ همهٔ جوانهها در نقطهٔ
p
را با
OX,p
نشان میدهیم:
OX,p
=
{ sp | s∈F(U),\;p∈U }
اگر
F
بافهٔ حلقهها باشد، اعمال حلقهای روی جوانهها به صورت زیر تعریف میشوند:
[s]p+[t]p=[s+t]p
[s]p[t]p=[st]p
این اعمال خوشتعریفاند؛ زیرا اگر دو نماینده در یک همسایگی از
p
برابر باشند، جمع و ضرب آنها نیز در همان همسایگی برابر خواهند بود.
۱۰. موضعیسازی در ایدهآل اول
فرض کنید
p
یک ایدهآل اول از حلقهٔ
A
باشد. مجموعهٔ
S=A∖p
ضربی است؛ زیرا:
چون
p
ایدهآل اول و سره است،
1∉p
و در نتیجه
1∈S.
اگر
s,t∈S
باشند و
st∈p
شود، اولبودن
p
نتیجه میدهد
s∈p
یا
t∈p
که تناقض است.
موضعیسازی
Ap
از کسرهای
a/s
ساخته میشود؛ یعنی:
a∈A,\qquad s∈A∖p
دو کسر
a/s
و
b/t
برابرند هرگاه عنصری
u∈A∖p
وجود داشته باشد که:
u(at-bs)=0
۱۱. قضیهٔ اصلی
قضیه:
اگر
X=Spec(A)
باشد و
p∈Spec(A)
نقطهٔ متناظر با ایدهآل اول
p
باشد، آنگاه حلقهٔ موضعی فضای هندسی در این نقطه با موضعیسازی حلقهٔ
A
در
p
همریخت است:
OX,p ≅ Ap
۱۲. تعریف نگاشت طبیعی
نگاشت زیر را تعریف میکنیم:
Φ:Ap→OX,p
Φ(a/s)=[a/s]p
علت طبیعیبودن این تعریف آن است که اگر
s∉p
باشد، آنگاه:
p∈D(s)
و عنصر
s
روی
D(s)
وارونپذیر است. بنابراین کسر
a/s
یک بخش منظم روی یک همسایگی از
p
تعریف میکند.
۱۳. اثبات خوشتعریفبودن Φ
فرض کنید:
a/s=b/t
\qquad\text{در } Ap
طبق تعریف موضعیسازی، عنصری
u∉p
وجود دارد که:
u(at-bs)=0
از طرفی
p∈D(u)
و در حلقهٔ
Au
عنصر
u
وارونپذیر است. پس در
Au
داریم:
at-bs=0
بنابراین دو تابع
a/s
و
b/t
روی باز اصلی مناسب، و در نتیجه در یک همسایگی از
p
برابرند. پس جوانههای آنها برابر است:
[a/s]p=[b/t]p
بنابراین مقدار
Φ(a/s)
به نمایش کسر وابسته نیست و
Φ
خوشتعریف است.
۱۴. اثبات همریختی حلقهای
سازگاری با جمع
در
Ap
داریم:
a/s+b/t=(at+bs)/st
بنابراین:
Φ(a/s+b/t)
=
[(at+bs)/st]p
از تعریف جمع جوانهها:
[(at+bs)/st]p
=
[a/s]p+[b/t]p
پس:
Φ(x+y)=Φ(x)+Φ(y)
سازگاری با ضرب
Φ((a/s)(b/t))
=
Φ(ab/st)
=
[ab/st]p
=
[a/s]p[b/t]p
همچنین:
Φ(1)=1
در نتیجه
Φ
یک همریختی حلقهای است.
۱۵. اثبات پوشایی
عنصری دلخواه از
OX,p
را به صورت یک جوانهٔ
[f]p
در نظر بگیرید.
تابع
f
روی یک همسایگی باز از
p
تعریف شده است.
چون مجموعههای باز اصلی پایهٔ توپولوژی زاریسکیاند، میتوان باز اصلی
D(s)
را چنان انتخاب کرد که:
p∈D(s)⊆U
بخشهای بافهٔ ساختاری روی باز اصلی به صورت عناصر
As
هستند. پس عددهای
a∈A
و
n≥0
وجود دارند به طوری که:
f=a/sn
بنابراین:
[f]p
=
[a/sn]p
=
Φ(a/sn)
پس هر عنصر از
OX,p
در تصویر
Φ
قرار دارد و
Φ
پوشاست.
۱۶. اثبات یکبهیکبودن
فرض کنید:
Φ(a/s)=Φ(b/t)
این برابری یعنی:
[a/s]p=[b/t]p
برابری جوانهها یعنی بازِ اصلی
D(u)
وجود دارد، به طوری که:
p∈D(u)
\qquad\text{و}\qquad
(a/s)|D(u)=(b/t)|D(u)
این برابری در حلقهٔ
Au
معادل است با:
u(at-bs)=0
و چون
u∉p
است، این دقیقاً شرط برابری دو کسر در
Ap
است. بنابراین:
a/s=b/t
پس
Φ
یکبهیک است.
۱۷. نتیجهٔ نهایی قضیه
نگاشت
Φ
همزمان:
- خوشتعریف است؛
- با جمع و ضرب سازگار است؛
- پوشاست؛
- یکبهیک است.
بنابراین یک همریختی حلقهای است و داریم:
OX,p ≅ Ap
۱۸. تفسیر مفهومی قضیه
این قضیه پلی میان دو زبان است:
| زبان هندسی | زبان جبری |
|---|---|
نقطهٔ p
| ایدهآل اول p
|
همسایگیِ زاریسکی
| وارونکردن عناصر خارج از p
|
جوانهٔ تابع در نقطه
| عنصر موضعیسازیشده
|
حلقهٔ توابع نزدیک نقطه
| Ap
|
پس حلقهٔ موضعی
OX,p
چیزی جز صورت جبریِ «تمام اطلاعاتی نیست که در هر همسایگیِ کافیِ نقطهٔ
p
قابل مشاهده است».
۱۹. جمعبندی نهایی
بازهای اصلی
D(f)
پایهٔ توپولوژی زاریسکی را تشکیل میدهند.
رابطهٔ بنیادی
D(fg)=D(f)∩D(g)
از اولبودن ایدهآلهای اول به دست میآید.
بافه دادههای محلی سازگار را به دادهای سراسری و یکتا تبدیل میکند.
جوانه، رفتار یک بخش را تنها در نزدیکی یک نقطه ثبت میکند.
حلقهٔ موضعی
OX,p
حلقهٔ همهٔ جوانهها در نقطهٔ
p
است.
برای
X=Spec(A)
داریم:
OX,p≅Ap.
بافه، زبان اتصالِ جزء به کل است؛
بازِ اصلی، دریچهٔ دیدِ موضعی است؛
جوانه، حافظهٔ یک نقطه است؛
و حلقهٔ موضعی، دفترِ جبریِ جهانِ کوچکِ آن نقطه.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.