بافهها، جوانهها و حلقههای موضعی
«هر دادهای که در نزدیکیِ هر نقطه معنا یابد،
اگر با همسایگانش سازگار شود، راهی به سوی کل مییابد.»
۱. تعریف پیشبافه
فرض کنید
X
یک فضای توپولوژیک باشد و
Open(X)
دستهٔ مجموعههای بازِ آن باشد.
یک پیشبافه
F
روی
X
شامل دادههای زیر است:
به هر مجموعهٔ باز
U ⊆ X
یک مجموعه
F(U)
نسبت داده میشود.
عناصر
F(U)
را بخشهای پیشبافه روی
U
مینامیم.
برای هر شمول
V ⊆ U
یک نگاشت محدودسازی وجود دارد:
ρU,V : F(U) → F(V)
این نگاشت معمولاً با نماد
s ↦ s|V
نیز نوشته میشود.
۲. شرطهای سازگاریِ محدودسازی
نگاشتهای محدودسازی باید دو شرط زیر را برآورده کنند.
شرط نخست ـ محدودسازی به خود:
برای هر مجموعهٔ باز
U
داریم:
ρU,U = idF(U)
یعنی اگر بخشی را از یک مجموعهٔ باز به خودش محدود کنیم، چیزی تغییر نمیکند.
شرط دوم ـ سازگاریِ ترکیبی:
اگر
W ⊆ V ⊆ U
باشد، آنگاه:
ρU,W
=
ρV,W ∘ ρU,V
۳. تکمیل برهان سازگاریِ ترکیبی
برای اثبات رابطهٔ بالا، عنصری دلخواه
s ∈ F(U)
را در نظر میگیریم.
از یکسو:
ρU,W(s) = s|W
از سوی دیگر، ابتدا
s
را از
U
به
V
محدود میکنیم و سپس حاصل را از
V
به
W
میبریم:
(ρV,W ∘ ρU,V)(s)
=
ρV,W(s|V)
=
(s|V)|W
=
s|W
بنابراین دو نگاشت روی هر عنصر
s
مقدار یکسان دارند. پس:
ρU,W
=
ρV,W ∘ ρU,V
۴. تعریف بافه
پیشبافهٔ
F
را بافه مینامیم، هرگاه علاوه بر شرطهای بالا، اصل جداسازی و اصل چسباندن را نیز داشته باشد.
اصل جداسازی
فرض کنید
U
یک مجموعهٔ باز باشد و
{Ui}
پوششی باز برای آن تشکیل دهد؛ یعنی:
U = ⋃i Ui
اگر
s,t ∈ F(U)
باشند و محدودسازیهای آنها روی هر عضوِ پوشش برابر باشند:
s|Ui
=
t|Ui
برای هر i
آنگاه:
s = t
معنای این اصل آن است که بخشهای سراسری را میتوان از روی رفتار محلیشان تشخیص داد.
اصل چسباندن
فرض کنید برای هر
i
بخشی
si ∈ F(Ui)
داده شده باشد و این بخشها روی اشتراکها سازگار باشند:
si|Ui∩Uj
=
sj|Ui∩Uj
آنگاه بخشی یکتا
s ∈ F(U)
وجود دارد بهطوریکه:
s|Ui = si
برای هر i
۵. برهان اصل چسباندن برای توابع پیوسته
پیشبافهٔ توابع پیوسته را با
C
نشان دهید؛ یعنی:
C(U) = { f : U → R | f continuous }
فرض کنید
{Ui}
پوششی از
U
باشد و توابع پیوستهٔ
fi ∈ C(Ui)
داده شده باشند، بهطوریکه روی اشتراکها:
fi(x) = fj(x)
برای هر
x ∈ Ui ∩ Uj
تابعی روی کل
U
تعریف میکنیم:
f(x) = fi(x)
هرگاه
x ∈ Ui
نخست باید نشان دهیم این تعریف خوشتعریف است.
اگر نقطهٔ
x
در دو مجموعهٔ
Ui
و
Uj
قرار داشته باشد، از شرط سازگاری داریم:
fi(x)=fj(x)
پس مقدار
f(x)
به انتخابِ
i
وابسته نیست.
اکنون پیوستگی را بررسی میکنیم. برای هر
i
داریم:
f|Ui = fi
چون هر
fi
پیوسته است و پیوستگی یک ویژگی موضعی است، تابع
f
روی
U
پیوسته است.
برای یکتایی، فرض کنید
g ∈ C(U)
تابع دیگری باشد که:
g|Ui = fi
آنگاه
f
و
g
روی هر
Ui
برابرند.
چون این مجموعهها کل
U
را میپوشانند، از اصل جداسازی نتیجه میشود:
f=g
بنابراین
C
یک بافه است.
۶. تعریف جوانه در یک نقطه
بخشهای محلی ممکن است روی یک همسایگیِ کوچک یکسان باشند، حتی اگر روی کل مجموعهٔ باز یکسان نباشند.
برای ثبتِ همین رفتار محلی، مفهوم جوانه را تعریف میکنیم.
دو زوج
(U,s)
و
(V,t)
را در نظر بگیرید که:
x ∈ U ∩ V, s ∈ F(U), t ∈ F(V)
میگوییم این دو زوج در
x
معادلاند، هرگاه بازِ
W
وجود داشته باشد که:
x ∈ W ⊆ U ∩ V
s|W = t|W
کلاسِ همارزیِ
(U,s)
را جوانهٔ بخش
s
در نقطهٔ
x
مینامیم و با نماد زیر مینویسیم:
sx یا [s]x
۷. حلقهٔ جوانهها و حلقهٔ موضعی
اگر
F
یک بافهٔ حلقهها باشد، مجموعهٔ جوانهها در
x
خود یک حلقه تشکیل میدهد.
اعمال جمع و ضرب به صورت زیر تعریف میشوند:
[s]x + [t]x = [s+t]x
[s]x · [t]x = [st]x
این اعمال خوشتعریفاند، زیرا اگر دو بخش روی همسایگیِ نقطه با هم برابر باشند، جمع و ضرب آنها نیز روی همان همسایگی برابر خواهند بود.
برای فضای آفین
X = Spec(A)
و نقطهٔ متناظر با ایدهآل اول
p،
حلقهٔ جوانهها با موضعیسازی حلقهٔ
A
در
p
همریخت است:
OX,p ≅ Ap
۸. تعریف موضعیسازی
اگر
p
یک ایدهآل اول در
A
باشد، مجموعهٔ
S=A∖p
یک مجموعهٔ ضربی است؛ زیرا:
1 ∉ p، پس
1 ∈ S.
اگر
s,t ∈ S
باشند و
st ∈ p
شود، از اولبودنِ
p
نتیجه میشود
s ∈ p
یا
t ∈ p؛ که تناقض است.
پس
st ∈ S.
موضعیسازی
Ap
از کسرهای
a/s
ساخته میشود که در آن:
a ∈ A, s ∈ A∖p
دو کسر
a/s
و
b/t
برابرند هرگاه عنصری
u ∈ A∖p
وجود داشته باشد که:
u(at − bs)=0
۹. ساخت نگاشت طبیعی به حلقهٔ جوانهها
نگاشت زیر را تعریف میکنیم:
Φ : Ap → OX,p
Φ(a/s) = [a/s]p
این تعریف از آنجا طبیعی است که اگر
s ∉ p
باشد، در بازِ اصلی
D(s)
عنصر
s
وارونپذیر است؛ بنابراین کسر
a/s
روی این باز تعریف میشود.
از آنجا که:
p ∈ D(s)
بازِ
D(s)
یک همسایگیِ زاریسکی از
p
است.
۱۰. تکمیل برهان خوشتعریف بودن
فرض کنید دو نمایش از یک عنصر در موضعیسازی داشته باشیم:
a/s = b/t
طبق تعریف برابری در موضعیسازی، عنصری
u ∉ p
وجود دارد که:
u(at−bs)=0
چون
u
در
D(u)
ناپدید نمیشود و
p ∈ D(u)،
رابطهٔ بالا در یک همسایگیِ
p
نشان میدهد:
at = bs
بنابراین دو تابع
a/s
و
b/t
در یک همسایگی از
p
برابرند و در نتیجه جوانههای آنها یکی است:
[a/s]p = [b/t]p
پس
Φ
خوشتعریف است.
۱۱. همریختی بودنِ نگاشت
برای جمع دو عنصر داریم:
Φ(a/s + b/t)
=
Φ((at+bs)/st)
=
[(at+bs)/st]p
از طرف دیگر:
[a/s]p + [b/t]p
=
[(at+bs)/st]p
بنابراین:
Φ(a/s+b/t)=Φ(a/s)+Φ(b/t)
برای ضرب نیز:
Φ((a/s)(b/t))
=
Φ(ab/st)
=
[ab/st]p
=
[a/s]p[b/t]p
همچنین:
Φ(1)=1
پس
Φ
یک همریختیِ حلقهای است.
۱۲. پوشاییِ نگاشت
هر عنصر از
OX,p
یک جوانهٔ
[f]p
است که تابع
f
در یک همسایگی از
p
تعریف شده است.
با توجه به پایهبودنِ بازهای اصلی، میتوان این همسایگی را به صورت
D(s)
گرفت؛ بهطوریکه:
p ∈ D(s)
روی
D(s)
هر تابع منظم به صورت یک کسر
a/sn
نمایش داده میشود.
بنابراین:
[f]p
=
[a/sn]p
=
Φ(a/sn)
پس هر جوانه در تصویرِ
Φ
قرار دارد و
Φ
پوشاست.
۱۳. یکبهیک بودنِ نگاشت
فرض کنید:
Φ(a/s)=Φ(b/t)
یعنی جوانههای
a/s
و
b/t
در
p
برابرند.
پس در یک همسایگیِ اصلی از
p
این دو تابع برابرند.
بنابراین عنصری
u ∉ p
وجود دارد که:
u(at−bs)=0
اما این دقیقاً همان شرط برابریِ
a/s
و
b/t
در
Ap
است.
پس:
a/s=b/t
بنابراین
Φ
یکبهیک است.
۱۴. نتیجهٔ نهایی
از خوشتعریفبودن، همریختی، پوشایی و یکبهیکبودنِ
Φ
نتیجه میگیریم:
OX,p ≅ Ap
بنابراین حلقهٔ موضعیِ فضای هندسی در نقطهٔ
p
با موضعیسازیِ حلقهٔ مختصات در ایدهآل اول متناظر با آن نقطه همریخت است.
۱۵. ارتباط با بافهٔ ساختاری
روی
X = Spec(A)
بافهای به نام بافهٔ ساختاری تعریف میشود که روی هر بازِ اصلی
D(f)
مقدار زیر را دارد:
OX(D(f)) = Af
در اینجا
Af
حلقهای است که در آن عنصر
f
وارونپذیر شده است.
با گذر به حد مستقیم روی همهٔ همسایگیهای بازِ نقطهٔ
p
داریم:
OX,p
=
colimp∈U OX(U)
و این حد مستقیم دقیقاً با
Ap
همریخت است.
پس حلقهٔ موضعی، فشردهترین صورتِ اطلاعاتِ سراسریِ حلقه در اطراف نقطه است.
۱۶. خلاصهٔ مفهومی
| مفهوم | معنای جبری | معنای هندسی |
|---|---|---|
D(f)
| محل وارونپذیریِ موضعیِ f
| همسایگیِ زاریسکی
|
Ap
| موضعیسازی در ایدهآل اول p
| اطلاعات جبری در اطراف نقطه
|
OX,p
| حلقهٔ جوانههای توابع
| ساختار محلیِ فضای هندسی
|
بافه
| چسباندن دادههای سازگار
| اتصال جزء به کل
|
«بافه، زبانِ پیوندِ محلی و سراسری است؛
و حلقهٔ موضعی، دفترِ حقیقتِ یک نقطه.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.