بیان کاملِ تعاریف و قضیهها، همراه با تکمیل برهان
«بازِ اصلی، کلیدِ فهمِ زاریسکی است؛
و موضعیسازی، زبانِ نزدیکشدن به حقیقت.»
۱) فضای زاریسکی و مجموعههای بازِ اصلی
بگذارید
A
یک حلقه و
X = Spec(A)
باشد.
برای هر عنصر
f ∈ A
مجموعهٔ زیر را تعریف میکنیم:
D(f) = { p ∈ Spec(A) | f ∉ p }
این مجموعه، بازِ اصلیِ متناظر با
f
در توپولوژی زاریسکی است.
خانوادهٔ
D(f)
ها پایهای برای توپولوژی زاریسکی روی
Spec(A)
میسازند.
۲) قضیهٔ پایهای دربارهٔ بازهای اصلی
قضیه:
برای هر
f,g ∈ A
داریم:
D(fg) = D(f) ∩ D(g)
و نیز:
D(1) = Spec(A), D(0) = ∅
برهان:
اگر
p ∈ D(fg)
باشد، آنگاه
fg ∉ p.
از آنجا که
p
ایدهآلی اول است، اگر
fg ∉ p
باشد، نمیتوان همزمان
f ∈ p
و
g ∈ p
را داشت؛ پس
f ∉ p
و
g ∉ p.
بنابراین
p ∈ D(f) ∩ D(g).
برعکس، اگر
p ∈ D(f) ∩ D(g)
باشد، آنگاه
f ∉ p
و
g ∉ p.
چون
p
ایدهآل است، اگر
fg ∈ p
بود، از اولبودنِ
p
نتیجه میشد که یکی از
f
یا
g
در
p
باشد؛ تناقض.
پس
fg ∉ p
و بنابراین
p ∈ D(fg).
پس:
D(fg) = D(f) ∩ D(g)
همچنین چون هر ایدهآل اول از
1
تهی است، داریم
D(1) = Spec(A).
و چون
0
در هر ایدهآل اول هست، نتیجه میشود
D(0)=∅.
۳) تعریف موضعیسازی در نقطه
اکنون یک ایدهآل اول
p ∈ Spec(A)
را در نظر بگیرید.
مجموعهٔ ضربیِ متناظر با آن را تعریف میکنیم:
S = A \ p
موضعیسازیِ
A
نسبت به
S
با
Ap
یا
S−1A
نشان داده میشود.
عناصر آن به صورت کسر
a/s
نوشته میشوند که در آن
a ∈ A
و
s ∉ p
است.
تعبیر هندسی:
موضعیسازی در
p
یعنی «بزرگکردنِ» همهٔ عناصرِ ناصفر در آن نقطه،
تا بتوان رفتارِ جبریِ حلقه را در همسایگیِ
p
بررسی کرد.
۴) حلقهٔ موضعیِ واریته/اسپکتروم
اگر
X = Spec(A)
و
p ∈ X
باشد، آنگاه حلقهٔ موضعیِ
X
در نقطهٔ
p
برابر است با:
OX,p ≅ Ap
این همان حلقهای است که رفتار تابعها را در یک همسایگیِ کوچکِ
p
ثبت میکند.
۵) قضیهٔ همارزیِ حلقهٔ موضعی و موضعیسازی
قضیه:
اگر
X = Spec(A)
و
p ∈ X
باشد، آنگاه:
OX,p ≅ Ap
برهان:
یک عنصر از
OX,p
را میتوان به صورت جوانهٔ تابعی نوشت که در یک همسایگی از
p
تعریف شده و در آن همسایگی با تابعی از نوع
a/s
نمایشپذیر است، بهطوریکه
s ∉ p.
از طرفی، در
Ap
نیز دقیقاً همین کسریها مجازند.
بنابراین میتوان نگاشت طبیعی زیر را تعریف کرد:
Φ : Ap → OX,p
Φ(a/s) = [a/s]p
در اینجا
[a/s]p
جوانهٔ تابع
a/s
در نقطهٔ
p
است.
۶) خوشتعریف بودنِ نگاشت
اگر
a/s = b/t
در
Ap
باشد، آنگاه عنصری
u ∉ p
وجود دارد بهطوریکه:
u(at − bs) = 0
چون
u ∉ p
است، در یک همسایگی از
p
این عنصر وارونپذیر است؛ پس در آن همسایگی داریم:
at = bs
بنابراین دو کسر، در همسایگیای از
p
یکساناند و جوانههایشان برابر است.
پس
Φ
خوشتعریف است.
۷) همریختی حلقهای و تناظر یکبهیک
برای جمع و ضرب نیز:
Φ(a/s + b/t) = Φ((at + bs)/st)
= [ (at + bs)/st ]p
Φ(a/s)Φ(b/t) = [ab/st]p
پس
Φ
یک همریختی حلقهای است.
از سوی دیگر:
- اگر
Φ(a/s)=0
باشد، یعنی جوانهٔ آن در همسایگیای از
p
صفر است، پس در موضعیسازی نیز صفر است.
- اگر
Φ(a/s)=Φ(b/t)
باشد، آنگاه در یک همسایگی از
p
دو تابع برابرند، و این همان همارزی در موضعیسازی است.
بنابراین
Φ
هم یکبهیک و هم پوشاست؛ پس همریختیِ مطلوب بهدست میآید.
۸) جمعبندیِ نهایی
نتیجه آنکه:
OX,p ≅ Ap
و از این همارزی میفهمیم که مطالعهٔ ساختار محلیِ
X
در
p
دقیقاً همان مطالعهٔ موضعیسازیِ حلقه در ایدهآل اول
p
است.
در زبان هندسهٔ جبری، نقطه یک جهانِ کوچک است؛
و حلقهٔ موضعی، دفترِ ثبتِ این جهان.
۹) فرمولِ خلاصه برای وبلاگ
اگر بخواهیم همهٔ بحث را در یک خط خلاصه کنیم:
D(fg)=D(f)∩D(g), Ap=S−1A, OX,p≅Ap
این سه فرمول، ستونهای اصلیِ متنِ دستنویس شما هستند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.