تکمیل برهان: حلقهٔ موضعیِ واریته و ایدهآل ماکسیمال
«هر نقطه، جهانی کوچک در دلِ واریته است؛
و حلقهٔ موضعی، زبانِ همین جهانِ نزدیک.»
مقدمه
فرض کنید V یک واریتهٔ جبری و
p ∈ V یک نقطه از آن باشد.
هدف، اثبات این حقیقت است که حلقهٔ توابع منظم در نقطهٔ
p، همان موضعیسازیِ حلقهٔ توابع منظمِ سراسریِ
V در ایدهآل ماکسیمال متناظر با
p است.
قضیه:
اگر
A = Γ(V, OV)
حلقهٔ توابع منظمِ سراسری روی
V
باشد و
mp
ایدهآل ماکسیمال متناظر با نقطهٔ
p
باشد، آنگاه:
OV,p ≅ Amp
۱. ایدهآل ماکسیمال متناظر با یک نقطه
به هر نقطهٔ
p ∈ V
میتوان ایدهآل زیر را نسبت داد:
mp = { f ∈ A | f(p)=0 }
این مجموعه شامل تمام توابع منظمی است که در نقطهٔ
p
صفر میشوند. نگاشت ارزیابی در نقطهٔ
p
به صورت زیر تعریف میشود:
evp : A → k
f ↦ f(p)
این نگاشت یک همریختی حلقهای است و هستهٔ آن دقیقاً برابر با
mp
است. بنابراین، از قضیهٔ همریختی حلقهها داریم:
A / mp ≅ k
چون خارجقسمت یک میدان است، نتیجه میشود که
mp
یک ایدهآل ماکسیمال است.
۲. تعریف حلقهٔ موضعی در نقطه
حلقهٔ موضعی
OV,p
از جوانههای توابع منظم در اطراف نقطهٔ
p
تشکیل میشود.
هر عضو این حلقه را میتوان به صورت یک کسر نوشت:
f / g
که در آن
f,g ∈ A
و شرط اصلی این است که:
g(p) ≠ 0
شرط بالا معادل است با اینکه
g ∉ mp.
بنابراین، مخرجهای مجاز دقیقاً اعضای مجموعهٔ ضربیِ زیر هستند:
S = A \ mp
پس حلقهٔ موضعی از موضعیسازیِ
A
نسبت به مجموعهٔ
S
به دست میآید:
OV,p = S−1A = Amp
۳. تعریف نگاشت طبیعی
اکنون نگاشت زیر را تعریف میکنیم:
Φ : Amp → OV,p
Φ(f/g) = [f/g]p
در سمت راست، نماد
[f/g]p
به معنای جوانهٔ تابع
f/g
در نقطهٔ
p
است.
چون
g(p) ≠ 0،
تابع
f/g
در یک همسایگی زاریسکی از
p
تعریفپذیر است؛ بنابراین این فرمول معنا دارد.
۴. خوشتعریفبودنِ نگاشت
باید نشان دهیم اگر دو کسر در موضعیسازی برابر باشند، جوانههای متناظر نیز برابرند.
فرض کنید:
f/g = f′/g′
در Amp
برابریِ دو کسر در موضعیسازی یعنی عنصری مانند
h ∉ mp
وجود دارد به طوری که:
h(fg′ − f′g) = 0
چون
h(p) ≠ 0،
تابع
h
در یک همسایگی از
p
ناصفر است. بنابراین در آن همسایگی داریم:
fg′ − f′g = 0
از آنجا که
g
و
g′
در نقطهٔ
p
ناصفرند، هر دو در یک همسایگی کوچک وارونپذیرند. پس:
f/g = f′/g′
در یک همسایگی از
p
برقرار است؛ بنابراین جوانههای آنها برابرند:
[f/g]p = [f′/g′]p
پس نگاشت
Φ
خوشتعریف است.
۵. همریختی حلقهایبودن
برای جمع و ضرب، داریم:
Φ(f/g + f′/g′)
= Φ((fg′ + f′g)/(gg′))
= [ (fg′ + f′g)/(gg′) ]p
Φ(f/g) + Φ(f′/g′)
= [f/g]p + [f′/g′]p
این دو عبارت برابرند، زیرا جمعِ جوانهها با جمعِ نمایندههای آنها سازگار است.
برای ضرب نیز:
Φ((f/g)(f′/g′))
= Φ(ff′/gg′)
= [ff′/gg′]p
= [f/g]p[f′/g′]p
بنابراین
Φ
یک همریختی حلقهای است.
۶. پوشایی و یکبهیکبودن
هر جوانه در
OV,p
به وسیلهٔ یک تابع منظم در یک همسایگی از
p
نمایش داده میشود.
هر تابع منظم محلی نیز، با توجه به تعریف تابعهای گویا، به صورت کسری از شکل
f/g
با شرط
g(p) ≠ 0
نوشته میشود. پس هر عضو
OV,p
در تصویر
Φ
قرار دارد؛ بنابراین
Φ
پوشاست.
از سوی دیگر، اگر
Φ(f/g)=0
باشد، جوانهٔ
f/g
در یک همسایگی از
p
صفر است. پس در همان همسایگی، صورتِ کسر نیز صفر است و این دقیقاً همان رابطهای است که در موضعیسازی
f/g=0
را نتیجه میدهد. بنابراین هستهٔ
Φ
صفر است و
Φ
یکبهیک است.
نتیجهٔ نهایی
نگاشت طبیعی
Φ : Amp ⟶ OV,p
یک همریختی حلقهایِ یکبهیک و پوشا است. بنابراین:
OV,p ≅ Amp
تعبیر هندسی
این نتیجه میگوید مطالعهٔ تابعها در نزدیکی نقطهٔ
p
با مطالعهٔ کسرهایی از توابع سراسری انجام میشود که مخرجشان در
p
صفر نیست.
به عبارت دیگر، برای شناخت رفتار موضعیِ واریته، لازم نیست تمام فضای جهانی را یکباره بررسی کنیم؛
کافی است همهٔ تابعهایی را که در نقطهٔ مورد نظر قابل وارونسازیاند، وارون کنیم.
خلاصهٔ راهبردی:
نقطهٔ
p
یک ایدهآل ماکسیمال
mp
تولید میکند؛
مخرجهای ناصفر در
p
مجموعهٔ
A \ mp
را میسازند؛
و موضعیسازی نسبت به این مجموعه، حلقهٔ موضعی
OV,p
را به دست میدهد.
بنابراین حلقهٔ موضعی همان ابزار جبریِ دقیق برای توصیف رفتار واریته در نزدیکی یک نقطه است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.