تعاریفِ بنیادی در متنِ دستنویس
بر اساسِ آنچه در اوراقِ پیش رو استخراج شد، تعاریفِ زیر سنگبنای بحثِ ما در شِفهای جبری و هندسهی متغیر هستند:
۱. تابعِ گویا (Rational Function)
در متنِ یادداشتها، تابعِ گویا به عنوانِ کسرِ دو تابع (یا چندجملهای) تعریف شده است که مقادیرِ آن در یک بازِ تعریف شده، به شرطِ صفر نبودنِ مخرج، معتبر است:
φ = f/g
نکتهی کلیدی در این تعریف، مستقل بودن از نمایش است؛ یعنی اگر دو نمایشِ متفاوت از یک تابعِ گویا داشته باشیم، بر روی اشتراکِ دامنهها، مقادیرِ آنها باید یکسان باشند.
۲. شِف (Sheaf)
شِف، نگاشتی است که به هر بازِ U، مجموعهای از مقاطعِ F(U) را نسبت میدهد، بهطوری که دو شرطِ زیر برقرار باشد:
- شرطِ یکتایی: اگر مقاطعِ محلی روی تمامِ قطعاتِ پوشش با هم برابر باشند، مقطعِ جهانیِ متناظر نیز یکتاست.
- شرطِ چسباندن (Glueing): اگر مجموعهای از مقاطعِ محلی روی اشتراکها سازگار باشند، میتوان آنها را به یک مقطعِ جهانی چسباند.
۳. جوانهی یک مقطع (Germ of a section)
اطلاعاتِ موضعیِ یک تابع در نقطهی x. اگر s مقطعی روی U باشد، جوانهی آن در x (نشان داده شده با sx) کلاسِ همارزیِ تمامیِ مقاطعی است که در همسایگیِ x با s توافق دارند.
نکتهی مهم در سایتِ اتاله
در فضای اتاله، اشتراکها دیگر اشتراکهایِ مجموعهایِ ساده نیستند، بلکه حاصلضربهای فیبری هستند. لذا تعریفِ چسباندن بدین صورت است:
φα(x) = φβ(x) روی Uα ×X Uβ
«این تعاریف، نه صرفاً کلماتی بر کاغذ، که دستورالعملهایی برای ساختنِ حقیقتِ ریاضی در جهانهایِ پیچیدهترند.»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.