ریاضیات

رونویسی و تصحیح اثبات

در این بخش، ایده‌ی اصلی بر چسباندنِ مقاطع روی اشتراک‌ها استوار است.
اگر روی هر بازِ
U_α
یک مقطع
s_α
داشته باشیم و این مقاطع روی اشتراک‌ها سازگار باشند، آنگاه یک مقطعِ جهانی یکتا وجود دارد.

s_α|_{Uα ∩ Uβ}
=
s_β|_{Uα ∩ Uβ}

از این رابطه نتیجه می‌گیریم که تعریفِ مقطعِ جهانی مستقل از انتخابِ بازِ پوشاننده است.
بنابراین اگر برای هر
x ∈ U
یکی از بازها
U_α
را انتخاب کنیم، مقدار
s(x)
به‌صورت یکتا تعیین می‌شود.

s(x) = s_α(x)    اگر    x ∈ U_α

چون در ناحیه‌ی اشتراک داریم
s_α(x)=s_β(x)،
این تعریف خوب‌تعریف است.

در نتیجه، وجود و یکتاییِ مقطعِ چسبیده ثابت می‌شود.
این همان شرطِ شِف است.

نسخه‌ی تصحیح‌شده‌ی برهان

1. روی هر عضوِ پوشش، مقطع محلی را در نظر بگیرید.


2. سازگاری روی اشتراک‌ها را فرض کنید.


3. برای هر نقطه، مقدار مقطع جهانی را از هر قطعه‌ای که آن نقطه در آن قرار دارد تعریف کنید.


4. با سازگاری روی اشتراک‌ها نشان دهید که این تعریف مستقل از انتخاب است.


5. در پایان، یکتایی را از اصلِ تعیینِ نقطه‌به‌نقطه نتیجه بگیرید.