ریاضیات

«هر ثمره که از آمیزشِ دو جان زاید، در سرزمینِ مشترک می‌روید؛

و سرزمینِ مشترک، فراخ‌تر از آن ثمره است — وحدت، پیش از ترکیب است.»

اثبات: حاصلضربِ دو ایده‌آل در اشتراکِ آن دو می‌گنجد

۱. یادآوریِ تعریف‌ها

فرض کنید A یک حلقه‌ی جابه‌جاییِ یک‌دار باشد و I و J دو ایده‌آلِ آن.

• حاصلضربِ ایده‌آل‌ها: مجموعه‌ی همه‌ی جمع‌هایِ متناهیِ جمله‌هایی به‌صورتِ ab که در آن a ∈ I و b ∈ J است:

  IJ = { a₁b₁ + a₂b₂ + ⋯ + a_nb_n  |  a_i ∈ I , b_i ∈ J }

• اشتراک: I ∩ J = { x ∈ A | x ∈ I و x ∈ J }

۲. بیانِ قضیه

۳. اثبات

عضوِ دلخواه x ∈ IJ را بگیر. بنا به تعریفِ حاصلضرب، x = a₁b₁ + ⋯ + a_nb_n که هر a_i ∈ I و هر b_i ∈ J است. حال هر جمله را جدا بنگر:

• چون a_i ∈ I و b_i ∈ A (هر عضوِ J خود عضوِ A است) و I ایده‌آل است — یعنی در برابرِ ضرب در عناصرِ حلقه بسته است — پس a_ib_i ∈ I.
• چون b_i ∈ J و a_i ∈ A، و J نیز ایده‌آل است، پس a_ib_i ∈ J.
• پس هر جمله در هر دو هست: a_ib_i ∈ I ∩ J.

از سوی دیگر، I ∩ J خود ایده‌آل است (اشتراکِ دو ایده‌آل، ایده‌آل است) و بنا بر این نسبت به جمعِ متناهی بسته است. پس جمعِ این جمله‌ها، یعنی خودِ x، نیز در I ∩ J است.

پس هر عضوِ IJ در I ∩ J است؛ یعنی IJ ⊆ I ∩ J. ∎

۴. چرا برعکس برقرار نیست؟

شمولِ معکوس، یعنی I ∩ J ⊆ IJ، در حالتِ کلی نادرست است. مثال: در A = ℤ بگیر I = J = (2). آن‌گاه:

و می‌بینیم (4) ⊊ (2)؛ حاصلضرب به‌درستی درونِ اشتراک جا می‌گیرد، بی‌آنکه اشتراک را پر کند.

نکته: اگر I و J «نسبتاً اول» باشند — یعنی I + J = A — آن‌گاه تساوی برقرار است: IJ = I ∩ J. این را می‌توانید در گامی دیگر به‌سانِ تمرین اثبات کنید.

۵. تأمل

حاصلضرب، «ثمره‌ی ترکیبِ دو وجود» است؛ اشتراک، «سرزمینِ مشترکِ آن دو». هر ثمره که از آمیزش زاید، در سرزمینِ مشترک می‌روید؛ اما سرزمینِ مشترک، فراخ‌تر از آن ثمره است. و این، نشانِ آن است که وحدتِ مشترک بر ترکیب تقدم دارد: آنچه دو چیز را به هم می‌پیوندد، پیش از هر پیوندی، در دلِ هر دو حاضر است — همچون نَفَسِ رحمانی که پیش از هر الفتی، در همه‌ی اجزاء جاری است.

«ترکیب، ثمره می‌آورد؛ اما اشتراک، ریشه است — و ریشه، فراخ‌تر از ثمره.»