ریاضیات

هسته ی همریختی و سرّ مقطعها در پیشدسته

الف) هسته ی همریختی (Kernel of a Homomorphism)

تعریف: اگر نگاشتی چون φ از M به N برقرار باشد، هستهی آن، مجموعهی عناصری از M است که تصویرِ آن‌ها تحتِ φ برابر با صفرِ N است. این مفهوم، چون پرده‌ای، افشایِ آنچه از چشمِ نگاشت می‌ماند است.

نکته ی ظریف: هسته ی نگاشت، همواره یک «ایده‌آلِ دوجانبه» (یا زیرمدول) در دامنهی نگاشت است؛ یعنی نه فقط تحتِ جمع، بلکه تحتِ ضربِ اعضای حلقه نیز بسته می‌ماند.

نمونه: نگاشتِ همریختیِ φ را در نظر بگیرید که از حلقهی A به حلقهی B می‌نگرد. هستهی آن، همان مجموعهی عناصری چون a است که φ(a) = 0_B. اگر این هسته صفر باشد، نگاشت «تزریقی» (یکبهیک) خواهد بود؛ و این، نطفهی عینیتِ نگاشت است.

ب) مقطعهای پیشدسته (Sections of a Presheaf)

تعریف: در یک پیشدسته رویِ فضایِ توپولوژیکِ X، به عنصرِ متعلق به مجموعهی A(U) که رویِ مجموعهیِ بازِ U تعریف شده، یک «مقطع» گفته می‌شود.

مثالِ ملموس: اگر پیشدستهیِ توابعِ پیوستهیِ حقیقی‌مقدار را در نظر بگیریم، یک مقطع رویِ U تابعی پیوسته است که دامنهی آن عیناً U است.

عملیاتِ محدودسازی: به ازایِ هر شمولِ (U ⊆ V)، مقطعِ رویِ V را می‌توان به مقطعی رویِ U محدود کرد؛ این عملیات با نمادِ (s | U) نمایش داده می‌شود.

ج) از هسته تا مقطع: پیوندی عرفانی

در سیرِ از هسته به مقطع، درمی‌یابیم که همان‌گونه که هسته، آنچه را از تصویر می‌رود حفظ می‌کند، مقطع نیز آنچه را بر رویِ مجموعه‌هایِ بازِ خود ظاهر می‌شود، نگاه می‌دارد. این تقابل، همان تجلّیِ «ظاهر» و «باطن» در عالمِ ریاضی است؛ و این، رمزِ وحدتِ کثرات است.

«هسته، چون باطنی است که ناپیدایِ نگاشت را نگه می‌دارد؛ و مقطع، چون ظاهری است که بر هر ناحیه‌ی باز، رخِ خود را می‌گشاید. و این، تمامِ سرّ سلوک در جبرِ جابجایی است.»