اثباتِ شمولِ حاصلضرب ایدهآلها در اشتراک
در جبرِ جابجایی، برای دو ایدهآل I و J در حلقهی R، همواره رابطهی زیر برقرار است:
(I * J) زیرمجموعه (I ∩ J)
برای اثبات، فرض کنید عنصرِ x عضوی از حاصلضربِ ایدهآلها (I * J) باشد. طبق تعریف، x مجموعِ متناهی از ضربهایِ (a_i * b_i) است که در آن:
- عنصر a_i متعلق به ایدهآل I است.
- عنصر b_i متعلق به ایدهآل J است.
استدلال اصلی:
از آنجا که I یک ایدهآل است، هر ضربِ (a_i * b_i) حتماً در I قرار دارد. به همین ترتیب، چون J یک ایدهآل است، همان ضربِ (a_i * b_i) حتماً در J نیز قرار میگیرد.
بنابراین، هر تکجمله (a_i * b_i) همزمان در I و J حضور دارد، یعنی:
(a_i * b_i) متعلق به (I ∩ J)
از آنجا که مجموعِ هر تعداد عنصر از اشتراکِ دو ایدهآل، باز هم در آن اشتراک باقی میماند، پس مجموعِ نهایی (یعنی همان x) نیز در اشتراکِ (I ∩ J) جای میگیرد.
نتیجه: حاصلضرب، همواره در بطنِ اشتراکِ آن دو ایدهآل نهفته است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.