موضعیسازی حلقهها و طیف ایدهآلهای اول
در این بخش، ساختار موضعی حلقه در یک ایدهآل اول را بررسی میکنیم و نشان میدهیم
که چگونه یک همریختی حلقهها، نگاشتی طبیعی میان طیفها ایجاد میکند.
۱. نگاشت طبیعی میان طیفها
فرض کنید
φ : R → S
یک همریختی حلقهها باشد. از این همریختی، نگاشتی میان طیف حلقهها به دست میآید:
Spec(S) ⟶ Spec(R)
q ⟼ φ−1(q)
یعنی هر ایدهآل اول
q ∈ Spec(S)
به پیشتصویر آن در حلقهٔ R فرستاده میشود:
q ↦ φ−1(q)
از آنجا که پیشتصویر ایدهآل اول تحت همریختی حلقهها، ایدهآلی اول است،
این نگاشت بهخوبی تعریف میشود.
۲. ایدهآلهای اول و ماکسیمال
یادآوری میکنیم که ایدهآل اول
P
ایدهآلی حقیقی از حلقهٔ A است که شرط زیر را داشته باشد:
ab ∈ P ⇒ a ∈ P یا b ∈ P
ایدهآل ماکسیمال نیز ایدهآلی حقیقی است که هیچ ایدهآل حقیقیِ بزرگتری میان آن و کل حلقه وجود نداشته باشد.
معیار مهم برای ماکسیمال بودن چنین است:
M maximal ⇔ A/M یک میدان است.
در یک حلقهٔ جابجاییپذیر با عضو واحد، هر ایدهآل ماکسیمال، اول است؛ زیرا هر میدان یک دامنهٔ صحیح نیز هست.
۳. موضعیسازی در ایدهآل اول
فرض کنید A یک حلقه و
P ∈ Spec(A)
یک ایدهآل اول باشد. مجموعهٔ زیر را در نظر میگیریم:
S = A \ P
چون P ایدهآل اول است، مجموعهٔ
S=A\P
یک مجموعهٔ ضربی است؛ یعنی:
1 ∈ S؛ زیرا 1 ∉ P.
اگر a,b ∈ S باشند، آنگاه
ab ∈ S.
دلیل شرط دوم این است که اگر ab ∈ P باشد، از اول بودن P
نتیجه میشود که a ∈ P یا b ∈ P؛
در حالی که هر دو عنصر در S=A\P قرار دارند. پس:
a,b ∈ S ⇒ ab ∈ S
بنابراین میتوان حلقهٔ موضعیشدهٔ زیر را تشکیل داد:
AP = S−1A
این حلقه را موضعیسازی A نسبت به ایدهآل اول
P
مینامیم.
۴. عناصر حلقهٔ موضعیشده
عناصر AP به صورت کسرهایی از شکل زیر هستند:
a/s
a ∈ A ، s ∈ S
چون S=A\P، مخرج هر کسر عنصری از خارج ایدهآل
P است:
s ∉ P
دو کسر در موضعیسازی برابرند هرگاه عنصری از مجموعهٔ ضربی S
وجود داشته باشد که تساوی آنها را برقرار کند:
(a,s) ~ (a′,s′)
⇔
∃t ∈ S : t(as′ − a′s)=0
در حالتی که حلقه دامنهٔ صحیح باشد، این رابطه به شکل معمولِ تساوی کسرها درمیآید:
a/s = a′/s′
⇔
as′ = a′s
۵. اعمال جمع و ضرب
جمع و ضرب در حلقهٔ موضعیشده به صورت طبیعی تعریف میشوند:
a/s + a′/s′ = (as′ + a′s)/(ss′)
(a/s)(a′/s′) = (aa′)/(ss′)
همچنین برای هر عنصر
a ∈ A
و هر مخرج
s ∈ S
داریم:
(a/s)(m/s′) = (am)/(ss′)
نگاشت طبیعی از A به AP نیز به صورت زیر است:
A ⟶ AP
a ⟼ a/1
۶. ایدهآل ماکسیمال حلقهٔ موضعی
مهمترین ویژگی موضعیسازی در ایدهآل اول P این است که
حلقهٔ AP یک حلقهٔ موضعی است.
یعنی دقیقاً یک ایدهآل ماکسیمال دارد.
این ایدهآل برابر است با:
P AP
این ایدهآل را گاهی با
PP
نیز نشان میدهند. تعریف آن چنین است:
P AP
=
{ a/s | a ∈ P ، s ∉ P }
خارجقسمت این ایدهآل برابر است با:
AP / P AP ≅ Frac(A/P)
در صورتی که P ماکسیمال باشد، حلقهٔ
A/P
میدان است و بنابراین:
AP / P AP ≅ A/P
۷. مثال ساده
حلقهٔ چندجملهای
A=k[x]
و ایدهآل اول
P=(x)
را در نظر بگیرید.
در این صورت:
S = A \ P = { f(x) ∈ k[x] | f(0) ≠ 0 }
AP = k[x](x)
عناصر مخرج در این حلقه چندجملهایهایی هستند که در صفر مقدار صفر ندارند.
ایدهآل ماکسیمال حلقهٔ موضعی برابر است با:
(x)k[x](x)
و خارجقسمت آن:
k[x](x) / (x)k[x](x) ≅ k
بنابراین حلقهٔ
k[x](x)
تمام اطلاعات جبریِ نزدیک به نقطهٔ
x=0
را در خود نگه میدارد و رفتار نقاط دور از آن را کنار میگذارد.
۸. تفسیر هندسی
اگر P یک نقطهٔ جبری یا ایدهآل اول از یک فضای هندسی باشد،
موضعیسازی AP مانند قرار دادن ذرهبین روی آن نقطه است.
در این حلقه:
- عناصر خارج از P وارونپذیر میشوند؛
- فقط اطلاعات نزدیک به P اهمیت پیدا میکند؛
- ایدهآل P AP تنها ایدهآل ماکسیمال است؛
- حلقهٔ موضعی ساختار جبریِ اطراف نقطه را توصیف میکند.
جمعبندی نهایی
| مفهوم | نماد | تفسیر |
|---|---|---|
| مجموعهٔ ضربی | S=A\P | عناصر مجاز برای مخرج |
| حلقهٔ موضعی | AP=S−1A | تمرکز بر اطراف P |
| ایدهآل ماکسیمال | P AP | تنها ایدهآل ماکسیمال حلقهٔ موضعی |
| باقیماندهٔ میدان | AP/P AP | ≅ Frac(A/P) |
| نگاشت طیفها | q ↦ φ−1(q) | پیشتصویر ایدهآل اول |
موضعیسازی، جبر را به نقطه نزدیک میکند؛
حلقهٔ موضعی، زبانِ رفتار محلیِ فضا در اطراف یک ایدهآل اول است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.