مثال کاربردی ترکیبی: ایدهآل، ایدهآل اول، ایدهآل ماکسیمال و طیف
صورت مسئله
حلقهٔ زیر را در نظر بگیرید:
A = Z12 = Z / 12Z
در این حلقه میخواهیم این چهار مفهوم را بررسی کنیم:
- ایدهآل
- ایدهآل اول
- ایدهآل ماکسیمال
- طیف حلقه
۱) همهٔ ایدهآلهای حلقه
چون 12 مقسومعلیههای 1, 2, 3, 4, 6, 12 را دارد،
ایدهآلهای Z/12Z دقیقاً به صورت زیرند:
(0) = {0}
(2) = {0,2,4,6,8,10}
(3) = {0,3,6,9}
(4) = {0,4,8}
(6) = {0,6}
(1) = A
در اینجا (1) ایدهآل کل حلقه است و ایدهآل حقیقی نیست.
۲) ایدهآل اول
طبق معیار استاندارد، یک ایدهآل حقیقی P اول است هرگاه
خارجقسمت A/P دامنهٔ صحیح باشد.
بررسی (2)
A/(2) ≅ Z/2Z
چون Z/2Z یک میدان است، پس دامنهٔ صحیح هم هست؛ بنابراین
(2) ایدهآل اول است.
بررسی (3)
A/(3) ≅ Z/3Z
پس (3) نیز ایدهآل اول است.
بررسی (4) و (6)
چون:
A/(4) ≅ Z/4Z (دارای مقسومعلیه صفر)
A/(6) ≅ Z/6Z (دارای مقسومعلیه صفر)
پس (4) و (6) ایدهآل اول نیستند.
نتیجه:
Spec(A) = { (2), (3) }
۳) ایدهآل ماکسیمال
ایدهآل حقیقی M ماکسیمال است هرگاه هیچ ایدهآل حقیقیِ بزرگتری
بین آن و کل حلقه نباشد.
و معیار معادل:
M is maximal ⇔ A/M is a field
چون A/(2) ≅ Z/2Z و A/(3) ≅ Z/3Z هر دو میداناند،
نتیجه میگیریم:
Max(A) = { (2), (3) }
پس در این مثال، هر ایدهآل ماکسیمال اول هم هست.
۴) طیف حلقه
طیف حلقه مجموعهٔ تمام ایدهآلهای اول آن است:
Spec(Z/12Z) = { (2), (3) }
این طیف فقط دو نقطه دارد؛ یعنی از دید هندسی، دو نقطهٔ بسته در فضا داریم.
در نتیجه، در این مثال طیف با مجموعهٔ ایدهآلهای ماکسیمال یکی است.
جمعبندی نهایی
| مفهوم | نتیجه در A = Z/12Z |
|---|---|
| ایدهآلها | (0), (2), (3), (4), (6), (1) |
| ایدهآلهای اول | (2), (3) |
| ایدهآلهای ماکسیمال | (2), (3) |
| طیف | Spec(A) = { (2), (3) } |
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.