مسئلهٔ خلاقانه: ذرهبین جبری بر گرهٔ یک خم
کاربرد همزمان حلقهٔ مختصات، ایدهآل ماکسیمال، محلیسازی و مخروط مماسی
صورت مسئله
فرض کنید k یک میدان جبریبسته با مشخصهٔ صفر باشد.
خم جبری زیر را در صفحهٔ k2 در نظر بگیرید:
C : y2 = x2 + x3
حلقهٔ مختصات خم برابر است با:
A = k[x,y] / (y2 − x2 − x3)
نقطهٔ مبدأ را با P = (0,0) نشان میدهیم.
خواستههای مسئله عبارتاند از:
- یافتن ایدهآل ماکسیمال متناظر با مبدأ؛
- تشخیص تکین یا منظم بودن نقطه؛
- تشکیل حلقهٔ موضعی در مبدأ؛
- محاسبهٔ مخروط مماسی؛
- آشکار کردن دو شاخهٔ موضعی خم.
۱. ایدهآل ماکسیمال متناظر با نقطهٔ مبدأ
در حلقهٔ چندجملهای k[x,y]، نقطهٔ
P = (0,0) با ایدهآل
(x,y) متناظر است.
تصویر این ایدهآل در حلقهٔ A را با
𝔪 نشان میدهیم:
𝔪 = (x,y)
اکنون خارجقسمت A / 𝔪 را محاسبه میکنیم:
A / 𝔪
=
k[x,y] / (y2 − x2 − x3, x, y)
≅ k
زیرا با قرار دادن x = 0 و
y = 0، رابطهٔ خم به رابطهٔ صفر تبدیل میشود.
چون خارجقسمت یک میدان است، 𝔪 ماکسیمال و در نتیجه اول است:
𝔪 ∈ Max(A) ⊆ Spec(A)
۲. تشخیص تکینگی نقطه
چندجملهای تعریفکنندهٔ خم را به صورت زیر مینویسیم:
F(x,y) = y2 − x2 − x3
مشتقهای جزئی عبارتاند از:
Fx = −2x − 3x2
Fy = 2y
در نقطهٔ مبدأ داریم:
Fx(0,0) = 0
Fy(0,0) = 0
بنابراین گرادیان در مبدأ صفر است:
∇F(0,0) = (0,0)
پس نقطهٔ P = (0,0) یک نقطهٔ تکین خم است.
۳. تشکیل حلقهٔ موضعی
برای مطالعهٔ رفتار خم در مبدأ، حلقهٔ
A را نسبت به متمم ایدهآل
𝔪 محلیسازی میکنیم:
A𝔪 = (A − 𝔪)−1A
عناصر این حلقه کسرهایی از شکل زیر هستند:
f / g
،
f ∈ A
،
g ∉ 𝔪
شرط g ∉ 𝔪 یعنی تابع
g در مبدأ صفر نشود:
g(0,0) ≠ 0
بنابراین عناصری مانند 1+x و
2+y در حلقهٔ موضعی وارونپذیرند:
1 / (1+x) ∈ A𝔪
1 / (2+y) ∈ A𝔪
اما چون x ∈ 𝔪 و
y ∈ 𝔪، به طور کلی:
1 / x ∉ A𝔪
1 / y ∉ A𝔪
ایدهآل ماکسیمال یکتای حلقهٔ موضعی برابر است با:
Max(A𝔪) = {𝔪A𝔪}
۴. محاسبهٔ مخروط مماسی
معادلهٔ خم را بر اساس درجهٔ جملهها مرتب میکنیم:
F(x,y)
=
(y2 − x2) − x3
پایینترین بخش همگنِ ناصفر، بخش درجهٔ دوم است:
F2(x,y) = y2 − x2
این عبارت را تجزیه میکنیم:
y2 − x2
=
(y−x)(y+x)
پس مخروط مماسی از دو خط تشکیل شده است:
y = x
y = −x
چون این دو خط متمایزند، مبدأ یک گرهٔ معمولی یا
Node است.
۵. آشکار کردن دو شاخهٔ خم
برای آشکار کردن دو جهت موضعی، متغیرهای جدید زیر را معرفی میکنیم:
u = y − x
v = y + x
بنابراین:
y − x = u
y + x = v
با جمع و تفریق دو رابطه، به دست میآوریم:
y = (u+v)/2
x = (v−u)/2
از طرفی:
y2 − x2
=
(y−x)(y+x)
=
uv
معادلهٔ اصلی خم اکنون به شکل زیر درمیآید:
uv − x3 = 0
با جایگذاری
x = (v−u)/2، داریم:
uv − ((v−u)/2)3 = 0
یا به صورت معادل:
8uv − (v−u)3 = 0
بخش درجهٔ دوم این معادله برابر است با:
8uv = 0
بنابراین در مرتبهٔ نخست دو حالت داریم:
u = 0
یا
v = 0
این دو حالت دقیقاً همان دو شاخهٔ مماسیاند:
u = 0
⇔
y = x
v = 0
⇔
y = −x
جملهٔ درجهٔ سوم، یعنی
x3،
این شاخهها را اندکی خم میکند؛ اما جهت اصلی آنها همان دو خط
y=x و
y=−x باقی میماند.
۶. تناظر طیفی پس از محلیسازی
طبق قضیهٔ تناظر ایدهآلهای اول در محلیسازی:
Spec(A𝔪)
≅
{ 𝔭 ∈ Spec(A) | 𝔭 ⊆ 𝔪 }
یعنی ایدهآلهای اول حلقهٔ موضعی دقیقاً با ایدهآلهای اول حلقهٔ
A متناظرند که در
𝔪 قرار دارند.
از دید هندسی، حلقهٔ
A𝔪
فقط رفتار خم را در همسایگی مبدأ مطالعه میکند و اطلاعات مربوط به نقاط دور را کنار میگذارد.
نتیجهٔ نهایی
در این مسئله، زنجیرهٔ زیر میان هندسه و جبر برقرار است:
P = (0,0)
⇔
𝔪 = (x,y)
⇔
A / 𝔪 ≅ k
⇔
A𝔪 = (A−𝔪)−1A
⇔
F2 = y2 − x2
⇔
(y−x)(y+x)=0
بنابراین:
- مبدأ متناظر با ایدهآل ماکسیمال 𝔪=(x,y) است.
- مبدأ یک نقطهٔ تکین خم است.
- حلقهٔ A𝔪 ساختار موضعی خم را در مبدأ ثبت میکند.
- مخروط مماسی از دو خط y=x و y=−x تشکیل شده است.
- این تکینگی یک گرهٔ معمولی با دو شاخهٔ متمایز است.
محلیسازی، ذرهبین جبریای است که حقیقتِ یک نقطه را آشکار میکند.
جبرِ حلقهٔ موضعی و هندسهٔ نقطهٔ متناظر، دو زبان برای بیان یک حقیقت واحدند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.