مثالهای محلیسازی و حلقههای موضعی
مثالهای آموزشی از حلقهٔ کسرها، ایدهآلها و طیف حلقه
مثال ۱. محلیسازی حلقهٔ اعداد صحیح نسبت به توانهای ۲
حلقهٔ اعداد صحیح ℤ و مجموعهٔ ضربی زیر را در نظر بگیرید:
S = { 1, 2, 22, 23, ... }
محلیسازی ℤ نسبت به این مجموعه با
S-1ℤ
نشان داده میشود.
عناصر این حلقه به شکل زیر هستند:
a / 2n
که در آن a ∈ ℤ و
n ≥ 0 است.
بنابراین این حلقه شامل تمام عددهای گویایی است که مخرج آنها پس از سادهسازی، توانِ ۲ باشد.
چند عنصر این حلقه:
3 / 8 ، 5 / 4 ، 7 / 16 ، 12 / 2 = 6
اما عدد 1 / 3
در این حلقه وجود ندارد؛ زیرا ۳ توانِ ۲ نیست.
مثال ۲. محلیسازی نسبت به یک عنصر
حلقهٔ چندجملهای k[x]
را در نظر بگیرید و عنصر x
را وارونپذیر کنید.
مجموعهٔ ضربی مربوط به x عبارت است از:
S = { 1, x, x2, x3, ... }
محلیسازی حاصل را با k[x]x
یا S-1k[x]
نشان میدهیم.
عناصر این حلقه به صورت زیر هستند:
f(x) / xn
برای نمونه، عناصر زیر در این حلقه قرار دارند:
1 / x ، (x + 1) / x2 ، (x2 + 3x + 1) / x3
معنای این محلیسازی آن است که چندجملهای x
در حلقهٔ جدید وارونپذیر شده است:
x · (1 / x) = 1
مثال ۳. میدان کسرهای یک دامنهٔ صحیح
فرض کنید A
یک دامنهٔ صحیح باشد. مجموعهٔ همهٔ عناصر ناصفر آن را انتخاب میکنیم:
S = A − { 0 }
در این حالت هر عنصر ناصفرِ A
وارونپذیر میشود و محلیسازی
S-1A
میدان کسرهای A است.
برای A = ℤ داریم:
Frac(ℤ) = ℚ
هر عدد گویا مانند −5 / 7
یا 11 / 3
به صورت کسری از عناصر صحیح نوشته میشود.
مثال ۴. همارزی کسرها در ℤ6
حلقهٔ ℤ6
و مجموعهٔ زیر را در نظر بگیرید:
S = { 1, 3 }
دو زوج (a , s)
و (a' , s')
زمانی همارزند که عنصری مانند
t ∈ S
وجود داشته باشد به طوری که:
t(as' − a's) = 0
برای مثال، کسرهای زیر را مقایسه کنید:
1 / 3 و 3 / 1
زوجهای متناظر آنها بهترتیب
(1 , 3)
و (3 , 1)
هستند. برای بررسی همارزی، داریم:
as' − a's = 1·1 − 3·3 = 1 − 9 = −8 = 4 در ℤ6
با انتخاب t = 3:
3 · 4 = 12 = 0 در ℤ6
پس این دو کسر در محلیسازی مورد نظر همارزند.
مثال ۵. حلقهٔ موضعی ℤ در ایدهآل اول (p)
عدد اول p را در نظر بگیرید و بگذارید:
S = ℤ − (p)
حلقهٔ موضعی متناظر با ایدهآل اول
(p)
عبارت است از:
ℤ(p) = { a / b | a , b ∈ ℤ و p ∤ b }
یعنی مخرج کسر نباید بر p
بخشپذیر باشد.
برای p = 3:
5 / 2 ∈ ℤ(3) ،
7 / 10 ∈ ℤ(3) ،
4 / 9 ∉ ℤ(3)
زیرا مخرجهای ۲ و ۱۰ بر ۳ بخشپذیر نیستند، اما ۹ بر ۳ بخشپذیر است.
مثال ۶. ایدهآل توسعهیافته در محلیسازی
در حلقهٔ ℤ
ایدهآل I = (6)
و مجموعهٔ ضربی زیر را در نظر بگیرید:
S = { 1, 2, 22, 23, ... }
چون 2 ∈ I
نیست، اما هیچ توان مثبتی از ۲ مضرب ۶ نیست، ایدهآل توسعهیافته چنین است:
S-1I = { a / 2n | a ∈ (6) }
بنابراین عناصری مانند زیر در این ایدهآل قرار دارند:
6 / 1 ، 12 / 2 ، 18 / 4
مثال ۷. تناظر ایدهآلهای اول در محلیسازی
حلقهٔ ℤ
و مجموعهٔ ضربی توانهای ۲ را در نظر بگیرید:
S = { 1, 2, 4, 8, ... }
ایدهآلهای اول ℤ
عبارتاند از:
(0) ، (2) ، (3) ، (5) ، (7) ، ...
ایدهآل (2)
با مجموعهٔ S
اشتراک دارد، زیرا 2 ∈ S.
پس در طیف محلیسازی ظاهر نمیشود.
اما ایدهآلهای (3)،
(5) و
(7)
با S
اشتراک ندارند و به ایدهآلهای اول محلیسازی منتقل میشوند.
{ p ∈ Spec(ℤ) | p ∩ S = ∅ }
بنابراین در این مثال، ایدهآل اولِ مربوط به ۲ حذف میشود، زیرا ۲ در حلقهٔ محلیسازی وارونپذیر شده است.
مثال ۸. پیشتصویر ایدهآل اول
همریختی طبیعی زیر را در نظر بگیرید:
φ : ℤ → ℤ6
این نگاشت هر عدد صحیح را به کلاس باقیماندهٔ آن نسبت به ۶ میفرستد.
در حلقهٔ ℤ6،
ایدهآل (3)
ایدهآل اول است، زیرا:
ℤ6 / (3) ≅ ℤ3
پیشتصویر این ایدهآل برابر است با:
φ-1((3)) = (3)
پس پیشتصویر یک ایدهآل اول در ℤ
است.
در محلیسازی، عناصر مجموعهٔ S وارونپذیر میشوند؛ بنابراین ایدهآلهای اولی که با S برخورد دارند، از طیف حذف میشوند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.