ریاضیات

تعاریف پایه‌ای و کلیدی در ده صفحهٔ اخیر

مجموعه‌های ضربی، حلقهٔ کسرها، R-جبرها، ایده‌آل‌های موضعی و طیف نگاشتی

۱. مجموعهٔ بستهٔ ضربی (Multiplicatively Closed Set)

فرض کنید A یک حلقهٔ جابجایی یک‌دار باشد. زیرمجموعهٔ S ⊆ A را یک مجموعهٔ ضربی (بسته نسبت به ضرب) گویند هرگاه:

1. عنصر همانی ضرب در آن باشد: 1 ∈ S


2. نسبت به ضرب بسته باشد: به ازای هر s₁, s₂ ∈ S داشته باشیم s₁ s₂ ∈ S


3. (معمولاً) شامل عنصر صفر نباشد: 0 ∉ S (برای جلوگیری از صفر شدن حلقهٔ کسر).

۲. رابطهٔ هم‌ارزی کسرها و حلقهٔ محلی‌سازی (Localization / S^-1A)

روی حاصل‌ضرب دکارتی A × S رابطهٔ هم‌ارزی ~ به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

کلاس هم‌ارزی زوج (a, s) با نماد کسری a / s نمایش داده می‌شود و مجموعهٔ تمام این کسرها را حلقهٔ کسرها (محلی‌سازی A نسبت به S) نامیده و با S^-1A نشان می‌دهند.

۳. هم‌ریختی طبیعیِ محلی‌سازی (Canonical Homomorphism)

نگاشت f: A → S^-1A که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

یک هم‌ریختی حلقه است و عناصر S را به عناصر وارون‌پذیر در S^-1A می‌نگارد، زیرا: (s / 1) · (1 / s) = 1 / 1.

۴. ساختار R-جبر و هم‌ریختی میان جبر‌ها (R-Algebra Homomorphism)

یک حلقهٔ R' را یک R-جبر می‌نامند اگر یک هم‌ریختی ساختاری حلقه g: R → R' وجود داشته باشد.

اگر f': R → R' و f'': R → R'' دو R-جبر باشند، نگاشت ψ: R' → R'' را یک هم‌ریختی R-جبری گویند هرگاه هم‌ریختی حلقه بوده و با نگاشت‌های ساختاری سازگار باشد:

۵. محلی‌سازی اصلی (A_f) و حلقهٔ موضعی در یک نقطه (A_p)

• 
  محلی‌سازی نسبت به یک عنصر (Principal Localization - A_f): اگر S = { 1, f, f², f³, ... } باشد، محلی‌سازی را با A_f نمایش داده و عناصر آن به صورت a / fⁿ می‌باشند.
  


• 
  حلقهٔ موضعی در ایده‌آل اول p (Local Ring at p - A_p): اگر p ∈ Spec(A) باشد، متمم آن یعنی S = A \ p یک مجموعهٔ بستهٔ ضربی است. حلقهٔ حاصل را حلقهٔ موضعی A در p نامیده و با A_p نشان می‌دهند.
  

۶. ایده‌آل گسترش‌یافته در محلی‌سازی (Extended Ideal - S^-1I)

اگر I یک ایده‌آل در حلقهٔ A باشد، گسترش آن در حلقهٔ کسرها به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

این مجموعه، ایده‌آل تولیدشده توسط تصویر I در S^-1A است (یعنی S^-1I = I · S^-1A). اگر I ∩ S ≠ ∅ باشد، آنگاه S^-1I = S^-1A (ایده‌آل کل) خواهد بود.