قضـایای ده صفحهٔ اخیر (محلیسازی و طیف ایدهآلهای اول)
استخراجشده از صفحات ۵۰ تا ۵۹ جزوه | آماده برای وبلاگ بلاگفا
۱. قضیهٔ خاصیت جهانیِ محلیسازی (Universal Property)
فرض: فرض کنید A یک حلقهٔ جابجایی یکدار، S ⊆ A یک زیرمجموعهٔ ضربی و f: A → S-1A با ضابطهٔ f(a) = a / 1 همریختی طبیعی باشد. همچنین g: A → R' همریختی حلقهای باشد به طوری که به ازای هر s ∈ S، عنصر g(s) در R' وارونپذیر باشد.
حکم: همریختی یکتایی چون h: S-1A → R' وجود دارد به طوری که دیاگرام جابجایی است (h ∘ f = g) و ضابطهٔ آن برابر است با:
h(a / s) = g(a) · [g(s)]-1
طرح اثبات:
- خوشتعریفی: اگر a/s = a'/s' باشد، آنگاه ∃ t ∈ S : t(as' - a's) = 0. با اعمال g و از آنجا که g(t) وارونپذیر است، تساوی g(a)g(s)-1 = g(a')g(s')-1 به دست میآید.
- همریختی: حفظ عمل جمع و ضرب مستقیماً از ضرب و جمع کسرها به دست میآید.
- یکتایی: هر نگاشت دیگر مانند ψ که در ψ ∘ f = g صدق کند، الزاماً روی مخرجها وارون اعمال میکند و با h یکسان خواهد بود.
۲. قضیهٔ مشخصهسازیِ یکریختی حلقهٔ کسرها
صورت قضیه: اگر R' یک R-جبر با نگاشت ساختاری g: R → R' باشد، یکریختی یکتای R-جبری S-1R ≅ R' برقرار است اگر و تنها اگر سه شرط زیر برقرار باشند:
- ۱. وارونپذیری: به ازای هر s ∈ S، عنصر g(s) در R' وارونپذیر باشد.
- ۲. شرط هسته (تکریختی): ker(g) = { a ∈ R | ∃ s ∈ S , sa = 0 }.
- ۳. پوشایی: هر عنصر y ∈ R' به فرم y = g(a) · [g(s)]-1 (با a ∈ R , s ∈ S) نوشته شود.
۳. قضیهٔ پایستگی اولیت در پیشتصویر همریختی (نگاشتهای طیفی)
صورت قضیه: فرض کنید φ: R → R' یک همریختی حلقهها باشد. اگر q یک ایدهآل اول در R' باشد (q ∈ Spec(R'))، آنگاه پیشتصویر آن یعنی φ-1(q) همواره یک ایدهآل اول در R است:
p = φ-1(q) ∈ Spec(R)
طرح اثبات: همریختی القایی R / φ-1(q) ↪ R' / q یک تکریختی است. چون q اول است، R' / q دامنهٔ صحیح است؛ بنابراین زیرحلقهٔ آن یعنی R / φ-1(q) نیز دامنهٔ صحیح بوده و در نتیجه φ-1(q) اول است.
۴. قضیهٔ تناظر ایدهآلهای اول در محلیسازی
صورت قضیه: یک تناظر دوسویه (یکبهیک و پوشا) و حافظ شمول میان ایدهآلهای اول A که با S اشتراک ندارند و تمام ایدهآلهای اول حلقهٔ کسرها S-1A برقرار است:
{ p ∈ Spec(A) | p ∩ S = ∅ } ⟷ Spec(S-1A)
این تناظر از طریق نگاشتهای p ↦ S-1p و پیشتصویر q ↦ f-1q تعریف میشود؛ که در آن:
S-1p = { a / s | a ∈ p , s ∈ S }
۵. قضیهٔ موضعی بودنِ حلقهٔ Ap
صورت قضیه: اگر p یک ایدهآل اول در A باشد و مجموعهٔ ضربی S = A \ p در نظر گرفته شود، آنگاه حلقهٔ موضعی Ap = S-1A دارای خواص زیر است:
- ایدهآلهای اول Ap در تناظر یکبهیک با ایدهآلهای اولی از A هستند که زیرمجموعهٔ p میباشند (q ⊆ p).
- حلقهٔ Ap دارای یک ایدهآل ماکزیمال یکتا به فرم m = p Ap = S-1p است.
- تمام عناصر خارج از m در حلقه وارونپذیرند؛ بنابراین Ap یک حلقهٔ موضعی (Local Ring) است.
این قضایا ساختار هندسی و طیفی فضاهای آفین و شیوها را در هندسهٔ جبری پایهریزی میکنند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.